Question

9. Seja f a função de dominio IR definida por f(x) = (e^3x) - 1.

9.1 Qual é o valor de lim (fx)/x
quando x tende para 0


(A) 0
(B) 1
(c)1/3
(d)3​

Answer 1

Temos a seguinte função de domínio real:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{f(x) = e {}^{3x} - 1}$

• A questão quer saber o valor do limite dessa função quando o "x" tende a 0:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1 }{x}}$

Primeiro vamos substituir o valor a qual o "x" tende no local do mesmo e observar a indeterminação, qual será o tipo dela:

$\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1}{x} = \frac{e {}^{3.0} - 1 }{0} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$

Temos então uma indeterminação do tipo 0/0, ou seja, é possível usarmos a regra de L'Hôpital, que nos diz que quando temos indeterminações desse tipo, podemos derivar o numerador e o denominador até que a indeterminação suma:

$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \: \: e \: \: \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{ \infty }{ \infty } \\ \\ \underbrace{\boxed{\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{ \frac{d}{dx} f(x)}{ \frac{d}{dx} g(x)} }}_{Regra \: \: de \: \: L'Hôpital}$

Portanto vamos aplicar a derivação no numerador e denominador de nossa função:

$\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1}{x} = \lim_{x\to0} \frac{ \frac{d}{dx}(e {}^{3x} - 1) }{ \frac{d}{dx} x} \\ \\ \lim_{x\to0} \frac{e {}^{3x}.3 }{1} = \lim_{x\to0}3e {}^{3x}$

Certamente sumimos com a indeterminação, então podemos substituir o novamente o valor a qual o "x" tende e encontrar o valor do limite:

$\lim_{x\to0}3e {}^{3x} = 3e {}^{3.0} = 3e {}^{0} = 3.1 = \boxed{3}$

Concluímos com isso, que:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{\boxed{\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1 }{x} = 3}}$

Espero ter ajudado

Answer 2

Resposta:

d

Explicação passo-a-passo:

f(x) = (e^3x - 1)/x

o limite fundamental é (a^x - 1)/x, cujo limite com x tendendo pra zero é lna.

Então temos que fazer aparecer essa forma para não sermos obrigado aplicar a regra de um francês chamado G. L'hopital.

(e^3x - 1)/x = (e^x - 1)(e^2x + e^x + 1)/x.

Logo limite da primeira função é igual ao limite da função g(x) =  (e^x - 1)(e^2x + e^x + 1)/x com tendendo para  o mesmo valor. Aplicando uma propriedade de limites conhecida, temos:

lim x-->0 de (e^x - 1)(e^2x + e^x + 1)/x. =

lim x-->0 de (e^x - 1)/x. lim x-->0 de (e^2x + e^x + 1)/x =

lne . (e^2.0 + e^0 +1) = 1.(1+1+1) = 3.

==//==

aplicando a regra do francês G. L'hopital.

(3.e^3x - 0)/1 =

3.e^3.0 =

3.1 =

3