Question

resolvendo a equacao sen²(π+x)= 1/2sen (π-x)

como fazer?

Answer 1

Seno da soma/diferença de arcos:

$\boxed{\boxed{sen(a\pm b)=sen(a)\cdot cos(b)~\pm~sen(b)\cdot cos(a)}}$
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$sen^{2}(\pi+x)=(\frac{1}{2})sen(\pi-x)\\\\\left(sen(\pi+x)\right)^{2}=(\frac{1}{2})\cdot (sen(\pi)\cdot cos(x)-sen(x)\cdot cos(\pi))\\\\(sen(\pi)\cdot cos(x)+sen(x)\cdot cos(\pi))^{2}=(\frac{1}{2})\cdot (0\cdot cos(x)-sen(x)\cdot(-1))\\\\(0\cdot cos(x)+sen(x)\cdot(-1))^{2}=(\frac{1}{2})\cdot sen(x)\\\\(-sen(x))^{2}=(\frac{1}{2})\cdot sen(x)\\\\sen^{2}x=(\frac{1}{2})\cdot sen(x)$

Multiplicando os dois lados por 2:

$2(sen(x))^{2}=sen(x)\\\\2(sen(x))^{2}-sen(x)=0$

Colocando sen x em evidência:

$sen(x)\cdot(2\cdot sen(x)-1)=0$

Quando um produto entre números é zero, pelo menos um deles é zero. Portanto:

$sen(x)=0~~~~~~~~~~\therefore~~~~~~~~~~\boxed{\boxed{x=0~~ou~~x=\pi}}\\\\\\2\cdot sen(x)-1=0\\\\sen(x)=\frac{1}{2}~~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{x=30\º=\frac{\pi}{6}~~ou~~x=150\º=\frac{5\pi}{6}}}$
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Raízes:

$0,~\pi,~\dfrac{\pi}{6},~\dfrac{5\pi}{6}$

Então, a soma das raízes da equação é

$S=0+\pi+\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{5\pi}{6}=\pi+\dfrac{6\pi}{6}=\pi+\pi~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{S=2\pi}}$