Question

Qual é o valor de X e Y no sistema de
equações do 2º grau, sendo: x² + y2 =
13 e x - y = 5? *
por favor me ajudem ​

Answer 1

Podemos utilizar o método da substituição para resolver este sistema.

$\left\{\begin{array}{ccc}x^2+y^2&=&13\\x-y&=&5\end{array}\right.$

Isolando "x" na 2ª equação, temos:

$x-y~=~5\\\\\boxed{x~=~y+5}$

Substituindo esta expressão de "x" em função de "y" na 1ª equação:

$(y+5)^2+y^2~=~13\\\\\\y^2+10y+25+y^2~=~13\\\\\\2y^2+10y+25-13~=~0\\\\\\2y^2+10y+12~=~0~~~~Simplificando~a~equacao~por~2\\\\\\\boxed{y^2+5y+6~=~0}$

Utilizando a fórmula de Bhaskara, temos:

$\Delta~=~b^2-4ac\\\\\Delta~=~5^2-4\cdot 1\cdot 6\\\\\Delta~=~25-24\\\\\boxed{\Delta~=~1}\\\\\\y'~=~\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}~=~\dfrac{-5+\sqrt{1}}{2\cdot 1}~=~\dfrac{-5+1}{2}~=~\dfrac{-4}{2}~~\Rightarrow~\boxed{y'~=\,-2}\\\\\\y''~=~\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}~=~\dfrac{-5-\sqrt{1}}{2\cdot 1}~=~\dfrac{-5-1}{2}~=~\dfrac{-6}{2}~~\Rightarrow~\boxed{y''~=\,-3}$

Temos então duas possibilidades para o valor de "y": -2 e -3

Vamos agora calcular os valores possíveis de "x" associados.

Vimos antes que x=y+5, precisamos então apenas substituir "y" para achar o valor de "x".

$\underline{Para~~y=-2}:\\\\\\x~=~(-2)+5\\\\\boxed{x~=~3}\\\\\\\underline{Para~~y=-3}:\\\\\\x~=~(-3)+5\\\\\boxed{x~=~2}$

Sendo assim, temos duas pares ordenados que cabem como solução do sistema: (x,y)=(3,-2) e (x,y)=(2,-3)

Vamos conferir estas soluções substituindo nas duas equações.

$\underline{Para~~ (x,y)=(3,-2)}:\\\\\\(3)^2+(-2)^2~=~13\\\\9+4~=~13\\\\13~=~13~~ \checkmark\\\\\\(3)-(-2)~=~5\\\\3+2~=~5\\\\5~=~5~~\checkmark\\\\\\\underline{Para~~ (x,y)=(2,-3)}:\\\\\\(2)^2+(-3)^2~=~13\\\\4+9~=~13\\\\13~=~13~~ \checkmark\\\\\\(2)-(-3)~=~5\\\\2+3~=~5\\\\5~=~5~~\checkmark$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$