Question

Resolva o problema de valor inicial (PVI) de 1ª ordem:

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Vamos resolver a equação diferencial integrando ambos os lados

$y'=\frac{x^3}{y^2}\\\frac{dy}{dx}=\frac{x^3}{y^2}\\y^2dy=x^3dx$

Agora, integre ambos os lados

$\int{y^2dy}=\int{x^3dx}\\\frac{y^3}{3}=\frac{x^4}{4}+C$

Agora, aplique sua condição inicial

$\frac{y^3}{3}=\frac{x^4}{4}+C\\\frac{2^3}{3}=\frac{1^4}{4}+C\\\\C=\frac{8}{3}-\frac{1}{4}\\\\C=\frac{29}{12}$

Isole y na equação e substitua C

$\frac{y^3}{3}=\frac{x^4}{4}+C\\y^3=3(\frac{x^4}{4}+C)\\y=\sqrt[3]{3\frac{x^4}{4}+3\frac{29}{12})}\\y=\sqrt[3]{3\frac{x^4}{4}+\frac{29}{4})}\\y=\sqrt[3]{\frac{3x^4+29}{4}}$

Answer 2

• O resultado do problema de valor inicial é igual a:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt y=\sqrt[3]{ \tt \frac{3x^4 +29}{4}}\end{gathered} }$

Desejamos calcular o seguinte problema de valor inicial:

 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \begin{cases} \sf y'=\frac{x^3}{y^2}\ \ \ \ \ (\tt I).\\ \sf y(1)=2\ \ \ (\tt II).\end{cases}\end{gathered}$

Vamos então resolver a edo (I). Pelo método da separação de variaveis, temos que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \sf \tt{ (I)}:\ \frac{dy}{dx} =\frac{x^3}{y^2} \longrightarrow x^3dx=y^2dy\end{gathered}$

Vamos agora integrar ambos os lados:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \sf \tt{ (I)}:\ x^3dx=y^2dy\longrightarrow\int x^3dx=\int y^2dy \end{gathered}$

Agora, vale ressaltar a seguinte propriedade de integração:

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{ \sf \int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1} +C\ ,\ \forall n\neq-1}}\end{gathered} }$

Com isso, temos que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \sf \tt{ (I)}:\ \int x^3dx=\int y^2dy \longrightarrow \frac{x^4}{4} +C_1 = \frac{y^3}{3}+C_2\end{gathered}$

Vamos então isolar o y, ficanto então:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \sf \tt{ (I)}:\ 4y^3=3x^4 +C_3\longrightarrow y^3=\frac{3x^4 +C_3}{4}\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sf \tt{ (I)}:\ y^3=\frac{3x^4 +C_3}{4}\longrightarrow y=\sqrt[3]{ \tt \frac{3x^4 +C_3}{4}}\end{gathered} }$

Vamos agora substituir x por 1 e y por 2 para encontrar o valor da constante, logo:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt{(II)}:\ 2^3=\frac{3(1)^4+C_3}{4} \longrightarrow 8=\frac{3+C_3}{4} \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt{(II)}:\ 32=3+C_3 \longrightarrow \green{\underline{\boxed{C_3=29}}}\end{gathered} }$

Portanto, o resultado do nosso PVI ( Problema de Valor Inivial ) é igual a:

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore \green{\underline{\boxed{\tt y=\sqrt[3]{ \tt \frac{3x^4 +29}{4}}}}}\ \ \ (\checkmark).\end{gathered} }$

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