Question

Calcular o absoluto do complexo:​

Answer 1

Resposta:

27

Explicação passo-a-passo:

a potência de um número complexo $w=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)$ é dada pela fórmula $w^n=\rho^n[\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)]$ . Daí tiramos que:

$z^{45}=(\sqrt[15]{3})^{45}\left[\cos(45\cdot\pi/9)+i\sin(45\cdot\pi/9)\right]$

$z^{45}=3^{\frac{45}{15}}\left[\cos(5\pi)+i\sin(5\pi)\right]$

Podemos somar um ângulo por qualquer múltiplo de $2\pi$ sem alterá-lo, logo podemos subtrair $5\pi$ por $4\pi$, ficando assim com:

$z^{45}=3^3\left[\cos(5\pi-4\pi)+i\sin(5\pi-4\pi)\right]$

$z^{45}=27\left(\cos\pi+i\sin\pi\right)$

$z^{45}=27\left(-1+i\cdot0\right)$

$z^{45}=-27$

Como a questão pede o valor absoluto, ficamos com $|z^{45}|=27$.