Question

Use derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à hipérbole

$\frac{x^{2} }{16} - \frac{y^{2} }{9} = 1$ no ponto (−5,$\frac{9}{4}$).

$a. y=-\frac{45}{16}x-4\\\\b. y= -\frac{5}{4}x - 4\\\\c. y= -\frac{5}{4} \\\\d. y= -\frac{5}{4} x$

Answer 1

Temos a seguinte equação:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \frac{ x^{2} }{16} - \frac{y^{2} }{9} = 1 \: \: \bullet$

Primeiro vamos organizar essa equação de forma a deixá-la em uma formato semelhante a x² - y² ... = 0. Para isso devemos realizar o MMC:

$\frac{x {}^{2} }{16} - \frac{y {}^{2} }{9} = 1 \longrightarrow \frac{9x {}^{2} - 16y {}^{2} }{144} = 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ 9x {}^{2} - 16y {}^{2} = 1.144 \to 9x {}^{2} - 16y {}^{2} - 144 = 0$

Agora vamos derivar implicitamente a equação, ou seja, sempre que derivarmos o "y", devemos multiplicar pela derivada do mesmo, já que y é uma função de "x", então usamos a regra da cadeia. Aplicando a derivada:

$\frac{d}{dx} 9x {}^{2} - \frac{d}{dx} 16y {}^{2} - \frac{d}{dx} 144 = \frac{d}{dx} 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ 18x - 32y. \frac{dy}{dx} - 0 = 0 \longrightarrow32y. \frac{dy}{dx} = 18x \\ \\ \frac{dy}{dx} = \frac{18x}{32y} \longrightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{9x}{16y}$

Pronto, encontramos a derivada dessa equação, agora vamos substituir o valor do ponto em que a reta tangente passa, fazendo isso vamos descobrir o valor numérico do coeficiente angular, já que a derivada não é nada mais nada menos que o coeficiente angular da reta tangente:

$\frac{dy}{dx} = \frac{9x}{16y} \longrightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{9.( - 5)}{16. \frac{9}{4} } \longrightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{ - 45}{ 36} \\ \\ \frac{dy}{dx} = - \frac{15}{12} \longrightarrow \frac{dy}{dx} = - \frac{5}{4}$

Para finalizar, basta pegar a equação fundamental da reta e substituir esses coeficiente angular dy/dx e o ponto em que ela passa:

$y - y_0 = m.(x - x_0) \\ y - \frac{9}{4} = - \frac{5}{4} .(x + 5) \\ y - \frac{9}{4} = - \frac{5x}{4} - \frac{25}{4 } \\ y = - \frac{5x}{4} - \frac{25}{4} + \frac{9}{4} \\ y = - \frac{5x}{4} - \frac{16}{4} \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \boxed{ y= - \frac{5x}{4} - 4}$

Espero ter ajudado