Question

(UFPR 2009) Sabendo-se que x = 2 é um zero do polinômio p(x) = 9x³ − 21x² + 4x + 4, é correto afirmar que a soma das outras duas raízes é igual a:

Por favor, me ajudem. :/

No gabarito mostra que a resposta é 1/3

Answer 1

Segundo Girard, a soma das raízes é r1+r2+r3=-b/a

Então:

$r1+r2+r3= \frac{21}{9}= \frac{7}{3}$

Repare que o 21 e o 9 puderam ser simplificados por 3.

Por isso do 7/3

Agora é só substituir os valores na equação r1+r2+r3
$2+r2+r3= \frac{7}{3} \\ \\ r2+r3= \frac{7}{3}- \frac{2}{1} \\ \\ r2+r3= \frac{7-6}{3} \\ \\ r2+r3= \frac{1}{3}$

Answer 2

A soma das outras duas raízes do polinômio descrito é igual a 1/3.

Para chegar a esse resultado foi utilizada a Relação de Girard de uma equação de 3º grau que traz a soma das raízes dessa equação. Sabendo que um polinômio de 3º grau possui três raízes R1, R2 e R3, temos que:

R1 + R2 + R3 = - b/a

Essa relação leva em consideração um polinômio no formato ax³ + bx² + cx + d = 0.

Com base na equação dada, temos que b = -21 e a = 9. Para R1 = x = 2 temos:

2 + R2 + R3 = -(-21)/9

2 + R2 + R3 = 21/9 = 7/3

R2 + R3 = 7/3 - 2 = 7/3 - 6/3

R2 + R3 = 1/3

Portanto, a soma das raízes da equação x³ - 5x² + 4x = 0 é 1/3.

Uma curiosidade interessante é que, pelas Relações de Girard, tanto os polinômios de 3º grau quanto os polinômios de 2º e 4º grau tem como soma de suas raízes o coeficiente -b/a.

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