Question

seja f(x) = x²+1. Calcule (usando a definição):

a) f'(1)
b) f'(0)
c) f'(x)

Answer 1

c)

$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\\\ \lim_{x \to \x_0} \frac{(x^2+1)-(x_0^2+1)}{x-x_0}\\\\ \lim_{x \to x_0} \frac{x^2-x_0^2}{x-x_0} \\\\ \lim_{x \to x_0} \frac{(x+x_0)(x-x_0)}{x-x_0} \\\\ \lim_{x \to x_0} x+x_0=2x=f'(x)$

Ou pelo outro limite:

$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\\\ \lim_{h \to 0} \frac{((x+h)^2+1)-(x^2+1)}{h}\\\\ \lim_{h \to 0} \frac{x^2+2xh+h^2+1-x^2-1}{h}\\\\ \lim_{h \to 0} 2x+h=2x=f'(x)$

Para as letras "a" e "b" a ideia é totalmente igual. Basta que no primeiro limite você faça x tendendo a 1 ou 0 ou que no segundo limite você substitua o "x" só no final.

Se tiver dúvidas comente que eu atualizo a resposta.

Answer 2

Olá, siga a explicação:

Questão:

"Seja f(x) = x²+1. Calcule (usando a definição): "

a) f'(1)

b) f'(0)

c) f'(x)

Resolução:

Inicialmente dispomos de conceber a derivada de x, que pode ser definida como a Letra (C):

Sendo a função:

$f(x) = x^{2} +1$

Aderindo os princípios da Regra De Suma, propicia tal relação:

$x^{2} +1$

Em submissão de x a:

$\frac{d}{dx} [x^{2} ] + \frac{d}{dx} [1]$

Distinguindo utilizando a Regra De Potência, a qual assegura que:

$\frac{d}{dx} [x^{n} ] = nx^{n-1}$

Onde:

$n=2$

E:

$2x+ \frac{d}{dx} [1]$

Sendo 1 a constante com respeito a x, a derivada de 1 com cumprimento a x é 0:

$2x+0$

Adicione ambos:

$2x$

Respondendo Letra (A), (B) e (C):

$f(x) =x , entao\: \: f'(x)= 1\\ \\Logo: \\ \\ f'(1) = 2.1= 2 \\ \\ f'(0)= 2.0=0 \\ \\ f'(x)= 2.x= 2x$

• Att. MatiasHP