Question

Determine o valor de y para que os pontos A(12 , 4), B(1 , -3) e C(-4 , y) estejam alinhados.

(OBS: Dê resultado exclusivamente numérico. Ex.: 3 ou -10)

Answer 1

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$\Huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{y}~\pink{=}~\blue{ 6,\overline{18} }~~~}}$

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$\green{\rm\underline{EXPLICAC_{\!\!\!,}\tilde{A}O\ PASSO{-}A{-}PASSO\ \ \ }}$✍

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☺lá novamente, Disilene. Vamos a mais um exercício❗ Acompanhe a resolução abaixo. ✌

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☔ A verificação da condição de linearidade de 3 pontos é feita através da Determinante da matriz

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\rm C_{3,3}=\left[\begin{array}{ccc}\rm x_a&\rm y_a&1\\\\\rm x_b&\rm y_b&1\\\\\rm x_c&\rm y_c&1\\\end{array}\right]}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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➡ Det = 0 : Os pontos são colineares;

➡ Det ≠ 0 : Os pontos não são colineares;

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$\sf\LARGE\blue{M_{3,3}=\left[\begin{array}{ccc}12&4&1\\1&-3&1\\-4&y&1\\\end{array}\right]}$

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☔ Segundo a regra de Sarrus temos que para encontrarmos a determinante de uma matriz $\sf A_{3x3}$ devemos adicionar uma cópia das duas primeiras colunas à direita da matriz de tal forma que nossa determinante será a soma das n diagonais multiplicativas, começando no primeiro termo da primeira linha, subtraído da soma das outras n diagonais multiplicativas, começando no último termo da primeira linha das colunas repetidas.

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☔ Começaremos escrevendo nossas 2 colunas a mais à direita.

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$\sf\LARGE\blue{M_{3,3}=\left[\begin{array}{ccc|cc}12&4&1&12&4\\1&-3&1&1&-3\\-4&y&1&-4&y\\\end{array}\right]}$

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☔ Vamos registrar as diagonais multiplicativas que iremos somar. Esta será nossa primeira diagonal multiplicada a ser somada.

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$\LARGE\sf\blue{\left[\begin{array}{ccc|cc}12&.&.&.&.\\.&-3&.&.&.\\.&.&1&.&.\\\end{array}\right]}$

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$\blue{\sf Det(M) = 12 \cdot (-3) \cdot 1 + }$

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☔ Esta será nossa segunda diagonal multiplicada a ser somada.

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$\LARGE\sf\blue{\left[\begin{array}{ccc|cc}.&4&.&.&.\\.&.&1&.&.\\.&.&.&-4&.\\\end{array}\right]}$

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$\blue{\sf Det(M) = 12 \cdot (-3) \cdot 1 + 4 \cdot 1 \cdot (-4) + }$

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☔ Esta será nossa terceira diagonal multiplicada a ser somada.

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$\LARGE\sf\blue{\left[\begin{array}{ccc|cc}.&.&1&.&.\\.&.&.&1&.\\.&.&.&.&y\\\end{array}\right]}$

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$\blue{\sf Det(M) = 12 \cdot (-3) \cdot 1 + 4 \cdot 1 \cdot (-4) + 1 \cdot 1 \cdot y - }$

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☔ Esta será nossa primeira diagonal multiplicada a ser subtraída.

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$\LARGE\sf\blue{\left[\begin{array}{ccc|cc}.&.&.&.&4\\.&.&.&1&.\\.&.&1&.&.\\\end{array}\right]}$

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$\blue{\sf Det(M) = 12 \cdot (-3) \cdot 1 + 4 \cdot 1 \cdot (-4) + 1 \cdot 1 \cdot y - 4 \cdot 1 \cdot 1}$

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☔ Esta será nossa segunda diagonal multiplicada a ser subtraída.

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$\LARGE\sf\blue{\left[\begin{array}{ccc|cc}.&.&.&12&.\\.&.&1&.&.\\.&y&.&.&.\\\end{array}\right]}$

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$\blue{\sf Det(M) = 12 \cdot (-3) \cdot 1 + 4 \cdot 1 \cdot (-4) + 1 \cdot 1 \cdot y - 4 \cdot 1 \cdot 1 - 12 \cdot 1 \cdot y}$

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☔ Esta será nossa última diagonal multiplicada a ser subtraída.

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$\LARGE\sf\blue{\left[\begin{array}{ccc|cc}.&.&1&.&.\\.&-3&.&.&.\\-4&.&.&.&.\\\end{array}\right]}$

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☔ Desta forma obtemos a equação e o resultado procurado:

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$\blue{\sf Det(M) = 12 \cdot (-3) \cdot 1 + 4 \cdot 1 \cdot (-4) + 1 \cdot 1 \cdot y - 4 \cdot 1 \cdot 1 - 12 \cdot 1 \cdot y - 1 \cdot (-3) \cdot (-4)}$

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$\Large\blue{\sf = -36 - 16 + y - 4 - 12y - 12 }$

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$\Large\blue{\sf = -11y - 68 }$

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☔ Para que os pontos A, B e C estejam alinhados a Determinante de M deve ser igual à zero, ou seja

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$\LARGE\blue{\sf -11y - 68 = 0 }$

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$\LARGE\blue{\sf -11y = 68 }$

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$\LARGE\blue{\sf y = \dfrac{-68}{11} }$

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$\Huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{y}~\pink{=}~\blue{ 6,\overline{18} }~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

☕ $\bf\Large\blue{Bons\ estudos.}$

($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$