Question

( UFRGS) Sejam os triângulos ABC e ADC retos em B e D, a seguir

Se eles são triângulos retângulos com ângulos de 30 e 60 graus, qual o valor da área AEC?

Answer 1

Resposta:

E) $\frac{16\sqrt{3}}{3}$

Explicação passo-a-passo:

Informações:

$A\hat{B}C=A\hat{D}C=90^{\circ}\\B\hat{A}C=D\hat{C}A=60^{\circ}\\E\hat{A}C=E\hat{C}A=30^{\circ}$

Dessa forma, os ângulos:

$A\hat{E}C=120^{\circ}\\B\hat{E}A=D\hat{E}C=60^{\circ}\\B\hat{A}E=D\hat{C}E=30^{\circ}$

Aplicando a lei dos senos no $\Delta ABC (\overline{BC})$

$\frac{8}{sen90^{\circ}}=\frac{\overline{BC}}{sen60^{\circ}}$

${sen60^{\circ}}\\sen90^{\circ}=1\\sen60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\overline{BC}=x$

$\frac{8}{1}=\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \mid x=4\sqrt{3}$

Aplicando a lei dos senos no $\Delta ABC (\overline{BA})$

$\frac{8}{sen90^{\circ}}=\frac{\overline{BA}}{sen30^{\circ}}$

$sen90^{\circ}=1\\sen30^{\circ}=\frac{1}{2}\\\overline{BA}=x$

$\frac{8}{1}=\frac{x}{\frac{1}{2}}$ $\mid x=4$

Sendo $\Delta ABC \cong \Delta ADC$

Aplicando a lei dos senos no $\Delta BAE$

$\frac{4}{sen60^{\circ}}=\frac{\overline{AE}}{sen90^{\circ}}$

$sen90^{\circ}=1$

$sen60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\overline{AE}=x$

$x=$ $\frac{8\sqrt{3}}{3}$

Tendo os valores dos lados do triângulos isósceles \Delta EAC, utilizando a fórmuala de Héron temos que:

$A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

sendo a, b e c seus lados e p seu semiperímetro

seus lados são: $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ e 8

seu semiperímetro é: $\frac{\left(\frac{8\sqrt{3}}{3}\right)2+8}{2}=\frac{4\left(2\sqrt{3}+3\right)}{3}$

aplicando a fórmula temos:

$A=\sqrt{\frac{4\left(2\sqrt{3}+3\right)}{3}\left(\frac{4\left(2\sqrt{3}+3\right)}{3}-\frac{8\sqrt{3}}{3}\right)\left(\frac{4\left(2\sqrt{3}+3\right)}{3}-\frac{8\sqrt{3}}{3}\right)\left(\frac{4\left(2\sqrt{3}+3\right)}{3}-8\right)}$

$\sqrt{\frac{4\left(2\sqrt{3}+3\right)}{3}\cdot \:4\cdot \:4\left(\frac{4\left(2\sqrt{3}+3\right)}{3}-8\right)}=\sqrt{\frac{256}{3}}=\frac{16\sqrt{3}}{3}$