Question

Determine a equação da hipérbole que tem focos em (2, 1) e (4, 1) e
excentricidade 2√3

Answer 1

Resposta:

$12(x-3)^2-\frac{12}{11}(y-1)^2=1$

Explicação passo-a-passo:

A excentricidade da hipérbole é dada por $e=c/a$, onde $c$ é a distância do foco ao centro da hipérbole e $a$ é a distância do vértice da hipérbole até o centro.

A distância entre os focos é igual ao dobro da distância $c$, logo:

$2c=\sqrt{(4-2)^2+(1-1)^2}$

$2c=\sqrt{2^2}$

$2c=2$

$c=1$

Daí tiramos que:

$e=\frac{c}{a}$

$2\sqrt{3}=\frac{1}{a}$

$a=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$

Sendo o centro da hipérbole o ponto médio entre os focos, temos que o centro é $C(\frac{4+2}{2},\frac{1+1}{2})=C(3,1)$. Sendo o eixo focal paralelo ao eixo das abcissas, a equação da hipérbole é do tipo $\frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$, onde $c^2=a^2+b^2$. Vamos então calcular $b^2$:

$(\frac{\sqrt{3}}{6})^2+b^2=1^2$

$b^2=1-\frac{3}{36}$

$b^2=\frac{33}{36}=\frac{11}{12}$

Concluindo assim que a equação da hipérbole é:

$\frac{(x-3)^2}{(\sqrt{3}/6)^2}-\frac{(y-1)^2}{11/12}=1$

$12(x-3)^2-\frac{12}{11}(y-1)^2=1$