Respostas
Resposta: Possuem 2 pontos em comum, ou seja, são circunferências secantes entre si
Explicação passo-a-passo:
Nesse tipo de questão, para determinar a existência ou não de pontos em comum, é necessário resolver o sistema de equações.
eq A = x^2 + y^2 - 4x - 8y - 5 = 0
eq B = x^2 + y^2 - 2x -6y + 1 = 0
Para eliminar x^2 e y^2, é necessário subtrair uma equação da outra.
x^2 + y^2 - 4x - 8y - 5 = 0
(-) x^2 + y^2 - 2x -6y + 1 = 0
=
0 + 0 -2x -2y - 6 = 0
-2x -2y -6 = 0
x+ y = 3
y = 3 - x
Agora, é necessário substituir y em alguma das equações fornecidas
Substituindo na eq A, fica:
x^2 + y^2 - 4x - 8y - 5 = 0
x^2 + (3-x)^2 - 4x - 8(3-x) - 5 = 0
x^2 + 9 -6x + x^2 - 4x -24 + 8x -5 = 0
2x^2 -2x -20 = 0
x^2 - x - 10 = 0
Resultou em uma equação do segundo grau
Resolvendo pela fórmula de Bhaskara:
Δ = 1 - 4(1)(-10)
Δ = 41
x = (1 ± √41)/2
x' = (1 + √41)/2
y' = 3 - x'
y' = 3 - (1 + √41)/2
y' = 2.5 - √41)/2
x'' = (1 - √41)/2
y'' = 3 - x''
y'' = 3 - (1 - √41)/2
y'' = 2.5 + √41)/2
Portanto, as circunferências são secantes (2 pontos em comum) nos pontos:
P' = ( (1 + √41)/2 , 2.5 - √41)/2 )
P'' = ( (1 - √41)/2 , 2.5 + √41)/2 )
Obs: A questão não exigia saber quais pontos eram, mas apenas se eles existiam
A resposta poderia ser dada apenas analisando o valor de Δ
Δ < 0 → não há pontos em comum
Δ > 0 → há somente 2 pontos em comum
Δ = 0 → há somente 1 ponto em comum
E se o sistema possuísse infinitas soluções, as circunferências seriam iguais, possuindo infinitos pontos em comum