Question

Calcule a area limitada pelo grafico de f(x) = sen(x), pelas retas x = − π /2, x=π /2 e o eixo dos x.


alguém ajuda?

Answer 1

Temos os seguintes dados:

$f(x ) = \sin(x), \: x = - \frac{\pi}{2} , \: x = \frac{\pi}{2}$

Inicialmente faz-se necessário plotar o gráfico através de software, ou então, fazer o gráfico você mesmo. Fazendo esse gráfico, você notará que são formadas duas área entre a função y = sen(x), as retas e o eixo x. Note que essas áreas são iguais, ou seja, encontrar a área de uma delas e multiplicá-la por 2.

• Inicialmente vamos montar a integral. Pelo que sabemos a integral da área é dada pela subtração da função de cima pela função de baixo, sendo a relação dada por:

$\boxed{A = \int\limits_{a}^{ b}(f(x) - g(x))dx}$

Sendo f(x) a função de cima, g(x) a função de baixo e "a,b" os limites de integração (os limites são as próprias retas dadas). Logo teremos que:

$A = \int\limits_{ - \frac{\pi}{2} }^{0}(0 - \sin(x) ) dx \longrightarrow A = \int\limits_{ - \frac{\pi}{2} }^{0} - \sin(x)dx$

Integrando essa função:

$A = \int - \sin(x)dx \\ \\ \boxed{A = \cos(x) + k \bigg |_{ - \frac{\pi}{2} }^{0}}$

Aplicando o teorema da variação e multiplicando a área encontrada por 2:

$A = 2.\left( \cos(0) + k - \left( \cos\left( - \frac{\pi}{2} \right) + k\right)\right) \\ \\ A = 2.\left( 1 + k - \left( 0+ k\right)\right) \\ \\ A = 2. \left( 1 + k - k\right) \\ \\ A = 2. \left(1 \right) \\ \\ \boxed{A = 2 \: u.a}$

Espero ter ajudado