Question

Encontre a equação da reta tangente à curva $y= \frac{1}{x^{2} }$ no ponto $(-2, \frac{1}{4})$.
me ajudem

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo de equações de retas tangentes e derivação.

Seja uma curva $\mathcal{C}$ dada pelo gráfico da função $f(x)$, contínua e derivável. Sendo $(x_0,~y_0)$ um ponto pertencente ao domínio de $f(x)$, a equação da reta tangente a $f(x)$ neste ponto é dada por: $\boxed{y = y_0+f'(x_0)\cdot(x-x_0)}$.

Então, seja a função $y=\dfrac{1}{x^2}$. Devemos calcular a reta tangente à curva no ponto $\left(-2,~\dfrac{1}{4}\right)$.

Calculamos a derivada da função:

$y'=\left(\dfrac{1}{x^2}\right)'$

Lembre-se que:

• A derivada de uma função racional é calculada pela regra do quociente: $\left(\dfrac{g(x)}{h(x)}\right)'=\dfrac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{(h(x))^2}$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Aplique a regra do quociente:

$y'=\dfrac{(1)'\cdot x^2-1\cdot(x^2)'}{(x^2)^2}$

Aplique a regra da constante e da potência e calcule a potência

$y'=\dfrac{0\cdot x^2-1\cdot2\cdot x^{2-1}}{x^4}\\\\\\ y'=-\dfrac{2x}{x^4}$

Simplifique a fração, tal que $x\neq0$

$y'=-\dfrac{2}{x^3}$

Substituindo estes dados na fórmula para a equação da reta tangente à curva, teremos:

$y=\dfrac{1}{4}+\left(-\dfrac{2}{(-2)^3}\right)\cdot (x-(-2))$

Calcule a fração e efetue a propriedade de sinais

$y=\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{-8}\cdot(x+2)\\\\\\ y = \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\cdot (x+2)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os valores

$y=\dfrac{1}{4}+\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{2}\\\\\\ y = \dfrac{3}{4}+\dfrac{x}{4}$

Esta é a equação da reta tangente à curva neste ponto.