Question

Derivada:................

Answer 1

Regra da cadeia:
Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis, então a derivada da composta f(g(x)) é:
$f(g(x))'=f'(g(x)).g'(x)$


$f(x)= \sqrt{1+ 2e^{3x} } \\ f'(x)= \frac{1}{2 \sqrt{1+ 2e^{3x}} } (2 e^{3x}.3) \\ f'(x)= \frac{3 e^{3x} }{ \sqrt{1+ 2e^{3x}} }$

Answer 2

O valor da derivada desse função é

$\boxed{\dfrac{3e^{3x}}{ \sqrt{1+2e^{3x}} }}$

• Mas, como chegamos nessa resposta ?

Propriedade da derivada necessárias para responder a questão

• DERIVADA RAIZ QUADRADA DE X

    $\dfrac{dy}{dx} (\sqrt{x}) = \dfrac{1}{2\sqrt{x} }$

• DERIVADA DE EULER

   $\dfrac{dy}{dx} (e^x) = e^x$

Para resolver essa questão teremos que aplicar a regra da cadeia

• REGRA DA CADEIA

$\dfrac{df(u)}{dx} =\dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}$

• A regra da cadeia serve para resolver derivadas com funções compostas

• Chamamos um parte da função de U de modo que  ao chamarmos tal parte de U a função fique fácil de derivar e em seguida  derivamos. Depois substituirmos U pelo valor inicial dado e em seguida multiplicamos pela derivada do valor inicial

Nessa questão temos a função $F(x)= \sqrt{1+2e^{3x}}$

Vou chamar U de $(1+2e^{3x})$

$U=(1+2e^{3x})$

Vamos lá

$\dfrac{dy}{dx} \left(\sqrt{1+2e^{3x}}\right )\\\\\\\dfrac{dy}{du}(\sqrt{u})\cdot \dfrac{du}{dx} (1+2e^{3x})\\\\\\\dfrac{1}{2\cdot \sqrt{u} } \cdot \dfrac{du}{dx} (1+2e^{3x})\\\\\\\dfrac{1}{2\cdot \sqrt{1+2e^{3x}} }\cdot \boxed{\dfrac{du}{dx} (1+2e^{3x})}$

Parece que teremos que aplicar a regra da cadeia de novo então vamos fazer isoladamente $\boxed{\dfrac{du}{dx} (1+2e^{3x})}$ e depois multiplicar por   $\dfrac{1}{2\cdot \sqrt{1+2e^{3x}} }$

Vamos achar $\boxed{\dfrac{du}{dx} (1+2e^{3x})}$, como 1 é constante a derivada da 0 o que realmente queremos é a derivada de $2e^{3x}$  

aplicando a regra da cadeia vamos chamar o U de 3x

$U=3X$

$\dfrac{dy}{dx} (2e^{3x}) \\\\\\\dfrac{dy}{du} (2e^{u})\cdot \dfrac{du}{dx} (3x)\\\\\\2e^u\cdot 3\\\\2e^{3x}\cdot 3\\\\\\\boxed{6e^{3x}}$

agora basta multiplicarmos pela parte que ja encontramos

$\dfrac{1}{2\cdot \sqrt{1+2e^{3x}} }\cdot 6e^{3x}\\\\\\\dfrac{6e^{3x}}{2\cdot \sqrt{1+2e^{3x}} }\\\\\\\\\boxed{\dfrac{3e^{3x}}{ \sqrt{1+2e^{3x}} }}$

Então concluímos que a derivada  da função  $F(x)= \sqrt{1+2e^{3x}}$ é

$\boxed{\dfrac{3e^{3x}}{ \sqrt{1+2e^{3x}} }}$

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