Question

Considere o conjunto: H = {(x,y,z) E R³ / x=2y e x+z=0}. Mostre que H é subespaço de R³.​

Answer 1

Um espaço vetorial W é subespaço de outro V, se

$i) \:W \subset V$

$ii)$ W é espaço vetorial sobre o mesmo corpo de V e sobre os mesmos operadores.

A primeira propriedade é fácil, pois H é subconjunto de $\mathbb{R}^3$ pois é definido a partir dele.

Para provar a segunda propriedade, primeiro temos que verificar se o elemento nulo de V pertence à H, ou seja, verificamos se

$(0,0,0) \in H$

Como todo vetor v pertencente à H é do tipo, para todo t real,

$v = (2t, t, -2t) \in H$

Se t = 0,

$\implies (0,0,0) = 0_{\mathbb{R}^3} \in H$

Agora temos que provar que o operador

$+:H\times H \rightarrow H$

Em geral, se ω₁, ω₂ ∈ H e λ ∈ R³ e

$\omega_1+\lambda\omega_2 \in H$

Então H é espaço vetorial

Sabendo que um vetor em H pode ser escrito como (2t, t, -2t), obtemos que

$(2t_1, t_1, -2t_1)+ \lambda*(2t_2, t_2, -2t_2) = (2t_1+2\lambda t_2, t_1+\lambda t_2, -2t_1-2\lambda t_2)$

Chamando k = t₁ + λt₂,

$\implies (2t_1, t_1, -2t_1)+ \lambda*(2t_2, t_2, -2t_2) = (2k, k, -2k) \in H$

Por i e ii, obtemos que H é espaço vetorial e H é subconjunto do espaço vetorial de R³, portanto, H é subespaço vetorial de R³.