Question

Determine as equações que descrevem o lugar geométrico dos pontos
que são centros dos círculos tangentes simultaneamente à reta y = 1
e ao círculo x² + y² =9

Answer 1

Resposta:

$x^2=4(y+1)$ e $x^2=-8(y-2)$, com $(x,y)\notin\{(-2\sqrt{2},1),(2\sqrt{2},1)\}$

Explicação:

Vamos considerar que o ponto $(x,y)$ pertence ao lugar geométrico em questão. Dada uma reta de equação $ax+by+c=0$ e um ponto $P(x_p,y_p)$, a distância do ponto à reta é igual a:

$d=\frac{|ax_p+by_p+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Podemos reescrever a reta $y=1$ como $0\cdot x+y-1=0$. Ela deve ser tangente à circunferência de centro $(x,y)$ logo a sua distância até o centro da circunferência deve ser igual ao seu raio $r$, logo:

$\frac{|0\cdot x+1\cdot y-1|}{\sqrt{0^2+1^2}}=r$

$|y-1|=r$

Da mesma forma, as circunferências também devem ser tangentes logo a distância entre os seus centros deve ser igual à soma dos raios das circunferências. O círculo de equação $x^2+y^2=9$ possui centro (0, 0) e raio $\sqrt{9}=3$, logo:

$\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=r+3$

$\sqrt{x^2+y^2}=r+3$

$x^2+y^2=(r+3)^2$

Substituindo $r$ por $|y-1|$:

$x^2+y^2=(|y-1|+3)^2$

Perceba que, como o raio $r$ deve ser um número positivo, temos que $|y-1|>0$. Como estamos trabalhando com módulo, o resultado não será negativo. No entanto, ainda há a possibilidade o resultado se nulo. Dessa forma, temos que $|y-1|\neq 0\therefore y-1\neq0\therefore y\neq1$. Substituindo $y$ na equação:

$x^2+1^2\neq(|1-1|+3)^2$

$x^2+1\neq9$

$x^2\neq8$

$x\neq\pm\sqrt{8}$

$x\neq\pm2\sqrt{2}$

Daí tiramos que os pontos $(2\sqrt{2},1)$ e $(-2\sqrt{2},1)$ devem ser desconsiderados. Voltando à equação inicial $x^2+y^2=(|y-1|+3)^2$, temos as possibilidades $x^2+y^2=(y-1+3)^2$ e $x^2+y^2=(1-y+3)^2$. No 1º caso ficamos com:

$x^2+y^2=(y-1+3)^2$

$x^2+y^2=(y+2)^2$

$x^2+y^2=y^2+4y+4$

$x^2=4y+4$

$x^2=4(y+1)$

No 2º caso ficamos com:

$x^2+y^2=(-y+1+3)^2$

$x^2+y^2=(-y+4)^2$

$x^2+y^2=y^2-8y+16$

$x^2=-8y+16$

$x^2=-8(y-2)$