Question

5. Seja A o conjunto formado por todos os inteiros
n que têm a seguinte propriedade: o resto da di-
visão de 4n + 7 por 5 deixa resto 2. Pergunta-
se:
(a) O E A?
(c) 12 € A?
(e) -5 EA?
(b) 37 € A?
(d) 10010 € A?
(f) - 7€ A​

Answer 1

Podemos escrever A pela definição,

$A = \{n:\,\, (4n+7) \,\mathrm{mod}\, 5 \equiv 2\}$

Onde mod é um operador que retorna o resto da divisão do termo da direita pelo da esquerda. No entanto, A pode ser definido por meio de uma lei de formação f(k) = n, onde todo k inteiro gera um número n que pertence à A.

Como existe uma lei de formação de números que deixam resto 2 na divisão por 5, 4n+7 deve ser igual à ela,

$4n+7 = 5k+2, \hspace{0.5cm} k\in \mathbb{Z}$

$4n = 5k-5 \implies 5(k-1)\, \mathrm{mod}\, 4 \equiv 0$

$\therefore (k-1)\, \mathrm{mod}\, 4 \equiv 0$

Ou seja, k-1 = 4t, portanto,

$n = \dfrac{5(k-1)}{4} =5t, \hspace{0.5cm} t\in\mathbb{Z}$

Portanto, A é o conjunto de múltiplos de 5

Assim, dos valores dados, só podemos ter que

$\{0, -5, 10010\} \subset A$