1. (Esc. Naval 2020) Laura está brincando em um escorregador que faz um ângulo de inclinação de
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com a horizontal. Partindo do repouso no topo do brinquedo, ela escorrega até a base desse
escorregador. Sua amiga Ana Clara sugere que será bem mais divertido se elas descerem juntas sobre
um tapete. Ao fazerem isso, elas chegam à base do escorregador, partindo do repouso no topo, com o
dobro da velocidade com que Laura chegou quando desceu sozinha. Considerando que não existe atrito
entre o tapete e a superfície do escorregador, determine o coeficiente de atrito entre Laura e a
superfície do escorregador e marque a opção correta.
a)
3
6
b)
3
4
c)
0,5
d)
3
2
e)
3
Respostas
O coeficiente de atrito dinâmico entre Laura e o escorregador é de √(3)/4. Letra b).
Vamos dividir a questão em duas etapas para facilitar o entendimento.
Anexei uma figura no final da resolução, só para ajudar na visualização das componentes no plano inclinado.
Apenas Laura está descendo:
Se somente Laura desce, teremos que as forças atuando serão a componente paralela ao escorregador do seu peso, para baixo, e a força de atrito dela com o escorregador, apontando para o sentido oposto. Como ela está descendo, então a resultante será:
Fr = Psen30º - Fat
Considerando que Laura tenha massa mL e o coeficiente de atrito dinâmico entre ela e o escorregador seja μ, teremos:
Fr = mLgsen30º - μmLgcos30º
Pela segunda Lei de Newton teremos uma força resultante nela como sendo:
Fr = mL*a
Logo:
mLa = mLgsen30º - μmLgcos30º
Cancelando mL em todos os termos:
a = gsen30º - μg = g(sen30º - μcos30º)
Considerando que o escorregador possui um comprimento D, Laura terá uma velocidade vL ao chegar no final dele. E ela será dada por, aplicando a equação de Torricelli:
vL² = 0² + 2aD = 2*g(sen30º - μcos30º)D
vL = √[2gD(sen30º - μcos30º)]
Lembrando que ela partiu do repouso.
Laura e Ana descendo juntas com o tapete:
Como não há atrito agora, então apenas a componente paralela ao escorregador da força peso das duas meninas juntas estará atuando, e ela será:
Fr = Psen30º = (mL + mA)gsen30º
, sendo mL a massa de Laura e mA a massa de Ana.
Aplicando a segunda lei de Newton novamente:
Fr = (mL + mA)*a
Logo:
(mL + mA)*a = (mL + mA)gsen30º
Cancelando o termo (mL + mA) nos dois lados, teremos:
a = gsen30º
O escorregador terá o mesmo comprimento D, aplicando Torricelli:
v² = 0² + 2aD = 2aD = 2gDsen30º
v = √(2gDsen30º)
, sendo v a velocidade das duas meninas juntas.
O enunciado diz que a velocidade delas juntas será o dobro da velocidade de apenas Laura descendo. Ou seja:
v = 2*vL
Substituindo as relações que encontramos anteriormente:
√(2gDsen30º) = 2*√[2gD(sen30º - μcos30º)]
Elevando ambos os lados ao quadrado:
2gDsen30º = 4*2gD(sen30º - μcos30º)
Cancelando gD em ambos os lados:
2sen30º = 8*(sen30º - μcos30º)
0,25sen30º = sen30º - μcos30º
μcos30º = sen30º - 0,25sen30º = 0,75sen30º = 0,75*0,5 = 0,375 = 3/8
μ = 3/(8cos30º) = 3/(8√(3)/2) = 6/8√(3)
Multiplicando numerador e denominador por √3:
μ = 6√(3)/8*3 = √(3)/4
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