Question

com os algarismos 0, 2 , 3 , 5 , 6 e 9 podem ser formados quantos números de 5 algarismos distintos e: a) ímapares? b) multiplos de 5. c) maiores que 36 000?

Answer 1

Inicialmente, números com 5 algarismos distintos:

Vou usar o Princípio Fundamental da Contagem (|Princípio Multiplicativo), que consiste em multiplicar as possibilidades de cada etapa.

Na 1ª etapa temos 5 possibilidades, pois não exite nº iniciado por zero. 
Na 2ª etapa 5 também, pois podemos usar o zero, mas não podemos usar o algarismo que já foi usado na etapa anterior.
Na 3ª etapa, 4 possibilidades, pois não podemos usar os dois algarismos que já foram usados nas etapas anteriores.
Na 4ª etapa, 3 possibilidades e na 5ª, duas.

Multiplicando essas possibilidades, fica:

5.5.4.3.2 = 600

Portanto, com esses algarismos, podemos formar 600 números de 5 algarismos distintos.

a) Os números ímpares são os terminados em 3, 5 e 9 (dos que temos). Portanto, vamos fixar esses algarismos na 5ª etapa. Logo, só há uma possibilidade para a 5ª etapa.

O primeiro algarismo nunca pode ser zero. Portanto, temos 4 possibilidades para a primeira etapa, pois tiramos o zero e um dos ímpares, que deverá ficar no final do nº.

Para a 2ª etapa, volta o zero. Temos novamente 4 possibilidades (não podemos usar o algarismo que já foi usado na etapa anterior, nem o da última etapa).

Na 3ª etapa 3 possibilidades e, na 4ª, duas.

Multiplicando as etapas, fica:

4.4.3.2.1 = 96

Mas temos 3 vezes isso, pois 96 desses números terminam por 3, 96 terminam em 5 e 96 terminam em 9. Portanto,

96.3 = 288

Logo, 288 números são ímpares.

b) Múltiplos de 5 terminam em zero ou em 5, e temos esses dois algarismos no enunciado. Então:

Terminando em zero, o zero fica fixo na 5ª etapa e temos, portanto, uma possibilidade para a 5ª etapa.

Não podemos usar o zero em nenhuma outra posição, logo, temos 5 possibilidades na 1ª etapa, 4 na 2ª, 3 na 3ª e duas na 4ª. Portanto,

5.4.3.2.1 = 120  (estes terminam em zero)

Terminando em 5, o 5 fica fixo na 5ª etapa e temos, portanto, uma possibilidade para a 5ª etapa.

Lembrando que nenhum nº começa por zero, temos 4 possibilidades para a 1ª etapa.
Na 2ª etapa volta o zero, portanto, 4 possibilidades também.
Na 3ª etapa 3 e na 4ª, duas. Portanto,

4.4.3.2.1 = 96 (estes terminam em 5)

120 + 96 = 216

Portanto, 216 são múltiplos de 5.

c) Maiores que 36000, temos os que começam por 36, os que começam por 39, os que começam por 5, os que começam por 6 e os que começam por 9.

Nos primeiros dois casos, fixando os dois algarismos na 1ª e na 2ª etapa, sobram 4 para a 3ª etapa, 3 para a 4ª etapa e 2 para a 5ª etapa. Portanto, 

1.1.4.3.2 = 24  (Temos isso duas vezes: começando por 36 e por 39)

Nos 3 casos seguintes, fixando 1 algarismo na 1ª etapa, sobram 5 para a 2ª, 4 para a 3ª, 3 para a 4ª e 2 para 5ª. Portanto, 

1.5.4.3.2 = 120 (temos isso 3 vezes: começando por 5, por 6 e por 9)

24.2 + 120.3 = 48 + 360 = 408

Portanto, 408 são maiores que 36000.