Question

Sabendo que 2 é raiz dupla, -11 é raiz tripla e 5-7i são

raízes simples de determinado polinômio () com

coeficientes reais, o menor grau possível para esse

polinômio é de:

a) 5.

b) 6.

c) 7.

d) 4.

e) 3.
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Answer 1

• Observe que pelo teorema da raiz complexa conjugada se P é um polinômio em uma variável com coeficientes reais, e a + bi é uma raiz de P com a e b números reais, então seu complexo conjugado a − bi é também uma raiz de P.

• Portanto se 5−7i é raiz, então 5+7i é também raiz.

• Conclui-se então que há um total de 7 raízes, e portanto o polinômio é de grau 7.

• Para ilustrar observe:

[x − (5 + 7i) ] ⋅ [ x − (5 − 7i) ] = x² − 10x + 74

Portanto o polinômio é:

P(x) = (x − 2) ⋅ (x − 2) ⋅ (x + 11) ⋅ (x + 11) ⋅ (x + 11) ⋅ (x² − 10x + 74)

P(x) = (x − 2)² ⋅ (x + 11)³ ⋅ (x² − 10x + 74)

P(x) = x⁷ + 19x⁶ + 19x⁵ − 193x⁴ + 13408x³ + 44858x² − 339768x + 393976

Resposta: Alternativa C.

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