Question

expressar o vetor U (1,8,0,5) e R4 como combinação linear dos vetores V1= (1,0,1,1), V2=(-1,2,0,1) e v3 (0,-1,2,1).​

Answer 1

Se u é combinação linear dos vetores v1, v2, e v3, então existem coeficientes reais a, b, e c tais que

u = av1 + bv2 + cv3

Ou seja,

(1, 8, 0, 5) = (a, 0, a, a) + (-b, 2b, 0, b) + (0, -c, 2c, c)

Então igualamos as respectivas componentes:

1 = a - b

8 = 2b - c

0 = a + 2c

5 = a + b + c

Da primeira equação, a = 1 + b; substituímos na terceira equação:

0 = 1 + b + 2c

b = -1 - 2c

Substituímos na segunda equação:

8 = 2(-1 - 2c) - c

8 = -2 - 4c - c

10 = -5c

c = -2

Daí, segue que b = -1 - 2(-2) = -1 + 4 = 3, e logo a = 1 + 3 = 4. Basta verificar se esses valores satisfazem a última equação:

5 = 4 + 3 - 2 = 5

Desta forma, podemos escrever u como

u = 4v1 + 3v2 - 2v3