Question

Considere a circunferência C : x2 + y2 - 10x - 10y + 42 = 0. Calcule as equações das
retas que tangenciam C e que possuem inclinação de 45°​

Answer 1

Resposta:

$y=x+4\\y=x-4$

Explicação passo-a-passo:

Vamos reescrever a equação da circunferência em sua forma reduzida:

(x-a)²+(x-b)²=r²

Onde o centro C=(a,b)

Utilizando o método de completar quadrados:

x²-10x+y²-10y+42=(x-5)²+(y-5)²=-42+50

(x-5)²+(y-5)²=8

raio= 2√2

Centro=(5,5)

Toda reta pode ser escrita como:

$y-yo=m(x-xo)$

Onde:

m=tg(α), α=inclinação

Sabemos que inclinação da reta vale 45°.

tg(45°)=1

Substituindo, obtemos a Equação da reta :

y=x+(yo-xo) (forma reduzida)

-x+y+(xo-yo)=0 (equação geral da reta)

Para encontrar o ponto A=(xo,yo), vamos utilizar o fato de que a distância entre a reta e o centro da circunferência vale 2√2

Fórmula da distância entre Ponto e reta:

$d=\frac{|axo+byo+c|}{\sqrt{x^{2}+y^{2} } }$

d=raio= 2√2

$2\sqrt{2} =\frac{|-5-5+xo-yo|}{\sqrt{2} } \\\\4=|xo-yo|$

Resolvendo esta equação que possui módulo teremos duas retas:

1ª xo-yo=4

yo-xo= -4

y=x-4

2ªxo-yo=-4

yo-xo= 4

y=x+4

Answer 2

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que as equações reduzidas das retas que tangenciam a referida circunferência são, respectivamente:

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t': y = x - 4 \:\:\:e\:\:\:t'': y = x + 4\:\:\:}}\end{gathered} }$

Obtendo as retas tangentes à circunferência dada:

Sejam os dados:

        $\Large\begin{cases} \lambda: x^{2} + y^{2} - 10x - 10y + 42 = 0\\\theta = \gamma = 45^{\circ}\\ \tan45^{\circ} = 1\end{cases}$

Para resolver esta questão devemos:

• Completar os quadrados da equação da circunferência nas incógnitas "x" e "y" até chegar à seguinte equação reduzida da circunferência:

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - x_{C})^{2} + (y - y_{C})^{2} = r^{2}\end{gathered}$

       Para isso, fazemos:

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + y^{2} - 10x - 10y + 42 = 0\end{gathered}$

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + y^{2} - 10x - 10y = -42\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \left[x^{2} - 10x + 25\right] + \left[y^{2} - 10y + 25\right] = -42 + 25 + 25\end{gathered}$

                                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - 5)^{2} + (y - 5)^{2} = 8\end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - 5)^{2} + (y - 5)^{2} = (2\sqrt{2})^{2}\end{gathered}$

• Recuperar o centro "C" e o raio da circunferência. Para isso, devemos comparar a equação reduzida da circunferência coma a equação "I", ou seja:

                                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} C(5, 5)\end{gathered}$

                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} r = 2\sqrt{2}\:u.\:c.\end{gathered}$

• Obter a equação geral da reta, a partir da reta do ponto/declividade. Então, temos:

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{T} = m_{r}\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$             $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{T} = \tan\theta\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$

        Substituindo os dados na equação "II", temos:

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} 5 - y_{T} = 1\cdot(5 - x_{T})\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} 5 - y_{T} = 5 - x_{T}\end{gathered}$

     $\Large\displaystyle\begin{gathered} x_{T} - y_{T} + 5 - 5 = 0\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} x_{T} - y_{T} = 0\end{gathered}$

• Identificar cada uma das retas que tangenciam a circunferência. Para isso, fazemos:

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} d(C, t) = r\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{|x_{T} - y_{T}|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}= 2\sqrt{2}\end{gathered} }$

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{|x_{T} - y_{T}|}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\end{gathered} }$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} |x_{T} - y_{T}| = 4\end{gathered}$

Resolvendo esta equação modular, temos dois casos que são:

• Primeiro caso:

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} x_{T} - y_{T} = 4\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} -y_{T} = -x_{T} + 4\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} y_{T} = x_{T} - 4\end{gathered}$

• Segundo caso:

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} x_{T} - y_{T} = - 4\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} -y_{T} = -x_{T} - 4\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} y_{T} = x_{T} + 4\end{gathered}$

✅ Portanto, as equações são:

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} t': y = x - 4\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} t'': y = x + 4\end{gathered}$

         

                         

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$