Question

Mostre que 4 vetores, não nulos, no espaço são LD

Answer 1

Suponha que o conjunto S dado por

$S=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$

é LI. Portanto, existe $\alpha_1,\dots, \alpha_4$ não todos nulos tal que

$\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+\alpha_3v_3+\alpha_4v_4 = 0$

Se cada vetor pode ser escrito como

$v_j=\left[\begin{array}{c}u_{1j}\\u_{2j}\\u_{3j}\end{array}\right]$

Então, criamos o sistema linear

$\left[\begin{array}{cccc}u_{11}&u_{12}&u_{13}&u_{14}\\u_{21}&u_{22}&u_{23}&u_{24}\\u_{31}&u_{32}&u_{33}&u_{34}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3\\\alpha_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right]$

Perceba que temos um sistema homogêneo de 4 incógnitas e 3 equações, portanto, trata-se de um sistema possível indeterminado, ou seja, existem infinitas soluções não-nulas para o sistema, portanto, S não é LI. Contradição, S tem de ser LD, concluindo a prova.