Question

Um carro e um caminhão estão ambos viajando (na mesma direção e sentido) à uma velocidade constante de 72 km/h. O carro está 10 m atrás do caminhão quando o seu motorista, repentinamente, pisa no freio provocando a desaceleração do caminhão a uma taxa constante igual a 2 m/s2 . O motorista do carro teve um tempo de reação de 2 s para começar a frear seu veículo mas, ainda assim, conseguiu evitar uma colisão traseira. Nas condições acima mencionadas, determine a taxa constante na qual o carro desacelerou evitando a iminente batida.

Answer 1

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⠀⠀☞ Após perceber que o caminhão pisa repentinamente no freio a desaceleração mínima do carro para que não haja uma colisão deve ser de 10/3 [m/s²]. ✅  

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⠀⠀ Nosso primeiro passo será converter a velocidade de ambos, 72 km/h, para m/s:

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$\LARGE\blue{\sf 72 \cdot \dfrac{1.000}{3.600}}$

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$\LARGE\blue{\sf = \dfrac{72.000}{3.600}}$

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$\LARGE\blue{\sf = 20~m/s}$

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⠀⠀Em seguida usaremos a função horária da posição (também chamada de Fórmula do Sovertão) para encontrarmos o quanto a distância de 10 metros entre ambos foi reduzida durante os 2s de desaceleração ( considerando que a velocidade relativa entre eles era inicialmente nula já que ambos estavam a uma velocidade constante e igual num mesmo sentido):

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf S(t) = S_0 + V_0 \cdot t + \dfrac{a \cdot t^2}{2}}&\\&&\\\end{array}}}}}$  

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$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{ \sf S_0 }}$ sendo a posição inicial do objeto [m];  

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{ \sf V_0 }}$ sendo a velocidade inicial do objeto [m/s];  

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{t}}$ sendo o instante analisado [s];  

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{a}}$ sendo a aceleração do objeto [m/s²]  

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$\Large\blue{\sf S_{cm}(2) = 10 + 0 \cdot 2 + \dfrac{(-2) \cdot 2^2}{2}}$

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$\LARGE\blue{\sf S_{cm}(2) = 10 + (-1) \cdot 4}$

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$\LARGE\blue{\sf S_{cm}(2) = 10 - 4 = 6~m}$

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⠀⠀Portanto o tempo de reação do motorista do carro (cr) resultou em 4 metros a menos na distância entre eles, sendo a velocidade do caminhão (cm) neste instante menor que a do carro.

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• "- Mas qual era a velocidade do caminhão neste momento?"

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⠀⠀Pela equação horária da velocidade temos:

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$\LARGE\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf V(t) = V_0 + a \cdot t }&\\&&\\\end{array}}}}}$  

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$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{ \sf V_0 }}$ sendo a velocidade inicial do objeto [m/s];  

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{a}}$ sendo a aceleração do objeto [m/s²];  

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{t}}$ sendo o instante analisado [s].  

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$\LARGE\blue{\sf v_{cm}(2) = 20 + (-2) \cdot 2}$

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$\LARGE\blue{\sf v_{cm}(2) = 20 - 4 = 16~m/s}$

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⠀⠀Vamos considerar agora o cenário extremo em que o motorista do carro evitou a iminente batida "por  um triz", ou seja, o carro chega até mesmo a encostar no caminhão num instante t exatamente quando a velocidade de ambos era igual novamente, porém como a desaceleração do carro é maior que a do caminhão então imediatamente após o contato - que nem chega a arranhar os automóveis de tão mínimo que foi - o carro se afasta do caminhão.

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⠀⠀Observe que a equação da posição é uma equação quadrática e que no momento em que ambos se encostam a posição e o instante t de ambos são os mesmos, o que nos permite igualar ambas as equações. Ao fazermos isto, estaremos buscando um valor para a aceleração do carro que resulte em uma única raiz real para a equação quadrática resultante:

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$\LARGE\blue{\sf s_{cm}(t_c) = s_{cr}(t_c)}$

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$\blue{\text{ \sf 6 + 16 \cdot t_c - \dfrac{\diagup\!\!\!\!{2} \cdot t_c^2}{\diagup\!\!\!\!{2}} = 0 + 20 \cdot t_c + \dfrac{a_{cr} \cdot t_c^2}{2} }}$

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$\Large\blue{\text{ \sf 6 + 16t_c - t_c^2 = 20t_c + \dfrac{a_{cr} \cdot t_c^2}{2} }}$

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$\Large\blue{\sf 12 + 32t_c - 2t_c^2 = 40t_c + a_{cr}t_c^2}$

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$\large\blue{\sf a_{cr}t_c^2 + 2t_c^2 + 40t_c - 32t_c - 12 = 0}$

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$\Large\blue{\sf t_c^2 \cdot (a_{cr} + 2) + 8t_c - 12 = 0}$

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⠀ Obteremos por fim uma única raiz real para a equação quadrática acima quando o discriminante (Δ) for igual à zero:

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$\Large\blue{\sf \Delta = b^2 - 4 \cdot a \cdot c = 0}$

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$\Large\blue{\sf 8^2 - 4 \cdot (a_{cr} + 2) \cdot (-12) = 0}$

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$\Large\blue{\sf 64 + 48a_{cr} + 96 = 0}$

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$\Large\blue{\sf 48a_{cr} = -160}$

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$\Large\blue{\sf a_{cr} = \dfrac{-160}{48}}$

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$\Large\blue{\sf a_{cr} = \dfrac{-10}{3}~m/s}$

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$\LARGE\green{\boxed{\rm~~~\gray{a_{cr}}~\pink{=}~\blue{ -3,\overline{3}~[m/s^2] }~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$  

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✈ Encontro de automóveis (https://brainly.com.br/tarefa/37989789)  

✈ Função de Grau 2 (brainly.com.br/tarefa/38050217)

$\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍  

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⠀⠀⠀⠀☕ Bons estudos.

(Dúvidas nos comentários) ☄

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Absque sudore et labore nullum opus perfectum est.