Question

calcule a soma de Riemann f(x) = x² -2 para, toma como pontos amostras (os pontos arbitrários) as extremidades direitas e a=0, b=3 e n=6.
a) 10,75
b) 5,875
c) 6,75
d) 5,3750
e) nenhuma

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre Somas de Riemann.

Dada uma função $f(x)$, contínua em um dado intervalo fechado $[a,~b]$, podemos calcular uma estimativa para a área sob a curva de seu gráfico utilizando uma Soma de Riemann.

Neste caso, buscamos uma estimativa para a área sob a curva do gráfico da função $f(x)=x^2-2$, utilizando as extremidades direitas e $6$ subdivisões no intervalo $[0,~3]$.

A fórmula para a Soma de Riemann à direita é dada por:

$\boxed{\displaystyle{\sum_{i=1}^{n-1}~f(x_i)\cdot\Delta x_i},~\Delta x =\dfrac{b-a}{n}}$, em que, usualmente, $x_i=x_{i-1}+\Delta x,~x_0=a$.

Calculando o passo, isto é, o $\Delta x$ utilizando a fórmula acima com os limites inferior e superior do intervalo, temos:

$\Delta x =\dfrac{3-0}{6}\\\\\\ \Delta x=\dfrac{3}{6}\\\\\\ \Delta x = \dfrac{1}{2}$.

Então, substitua a função na notação da Soma de Riemann à direita:

$\displaystyle{\sum_{i=1}^{5}~({x_i}^2-2)\cdot\dfrac{1}{2}}$

Expanda o somatório

$\left(\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-2+1^2-2+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2-2+2^2-2+\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-2+3^2-2\right)\cdot\dfrac{1}{2}$

Calcule as potências e some os valores

$\left(\dfrac{1}{4}-2+1-2+\dfrac{9}{4}-2+4-2+\dfrac{25}{4}-2+9-2\right)\cdot\dfrac{1}{2}\\\\\\ \left(\dfrac{1+9+25}{4}+1+4+9-12\right)\dfrac{1}{2}\\\\\\ \left(\dfrac{35}{4}+2\right)\cdot\dfrac{1}{2}$

$\left(\dfrac{35+4\cdot2}{4}\right)\cdot\dfrac{1}{2}\\\\\\ \dfrac{43}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\\\\\\ \dfrac{43}{8}$

Calculando a fração, obtemos a estimativa $5.375$. Esta é uma estimativa para a área sob a curva do gráfico da função $f(x)$ neste intervalo com $n=6$ subdivisões iguais e é a resposta contida na letra d).