Question

15) As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1.2x, x²-5 e
estão em P.A., nesta ordem. Calcule o perímetro desse triângulo.​

Answer 1

Para que uma sequência ser uma progressão aritmética (PA), a razão (r), diferença entre dois termos consecutivos, deve se manter constante.

$\boxed{r~=~a_n-a_{n-1}}$

Portanto, podemos afirmar que a razão calculada por "r=a₂-a₁" e por "r=a₃-a₂" deve se manter constante, logo:

$\boxed{a_2-a_1~=~a_3-a_2}$

Substituindo os valores dos termos na equação:

$2x-(x+1)~=~x^2-5~-~2x\\\\\\x^2-5-2x-2x+x+1~=~0\\\\\\\boxed{x^2-3x-4~=~0}$

Chegamos em uma equação do 2º grau, vamos aplicar a fórmula de Bhaskara para determinar suas soluções:

$\Delta~=~b^2-4ac\\\\\Delta~=~(-3)^2-4\cdot 1\cdot (-4)\\\\\Delta~=~9+16\\\\\boxed{\Delta~=~25}\\\\\\x'~=~\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}~=~\dfrac{-(-3)-\sqrt{25}}{2\cdot 1}~=~\dfrac{3-5}{2}~=~\dfrac{-2}{2}~\Rightarrow~\boxed{x'~=\,-1}\\\\\\x''~=~\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}~=~\dfrac{-(-3)+\sqrt{25}}{2\cdot 1}~=~\dfrac{3+5}{2}~=~\dfrac{8}{2}~\Rightarrow~\boxed{x''~=~4}$

Temos então duas possibilidades para o valor de "x": -1 e 4

Entretanto, devemos lembrar que "x" representa a medida do lado de um triângulo, ou seja, não pode assumir valores negativos e, dessa forma, descartamos x=-1 e ficamos a solução x=4.

Por fim, vamos calcular o perímetro do triângulo:

$Perimetro~=~(x+1)~+~(2x)~+~(x^2-5)\\\\\\Perimetro~=~(4+1)~+~(2\cdot 4)~+~(4^2-5)\\\\\\Perimetro~=~5~+~8~+~(16-5)\\\\\\Perimetro~=~13~+~11\\\\\\\boxed{Perimetro~=~24~unidades~de~comprimento}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$