Question

calcule a derivada da função y= In cos x.

a) 1 sobre cos x = sec . x
b) - tan x
c) E elevado ao cos x
d) 1 sobre sen x = cos sex x

Answer 1

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Derivada do logaritmo natural

$\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf\dfrac{d}{dx}\ell n(u)=\dfrac{1}{u}\cdot\dfrac{du}{dx}}}}}$

$\sf y=\ell n(cos(x))\\\sf \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{cos(x)}\cdot-sen(x)\\\sf \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{sen(x)}{cos(x)}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf\dfrac{dy}{dx}=-tg(x)}}}}\blue{\checkmark}$

Answer 2

A derivada da função  $Y= Ln(Cos(x))$ é  $-Tan(x)$

Letra B)

Temos a seguinte função

$Y= Ln(Cos(x))$

Queremos achar sua derivada

Antes disso é bom termos algumas informações sobre as propriedades da derivação

• DERIVADA DO LN

$\dfrac{dy}{dx} (Ln(x)= \dfrac{1}{x}$

• DERIVADA DO COSSENO

$\dfrac{dy}{dx} (Cos(x))= -Sen(x)$

• REGRA DA CADEIA COM LN

$\dfrac{dy}{du}(Ln(u)) \cdot du = \dfrac{1}{u} \cdot du$

Vamos a questão

$\dfrac{dy}{dx} ( Ln(Cos(x)))$

Podemos aplicara regra da cadeia sendo o U= Cos(x)

$U=(Cos(x))\\\\DU= -(Sen(x))$

$\dfrac{dy}{dx} ( Ln(Cos(x)))\\\\\\\dfrac{dy}{du} ( Ln(u)\\\\\\\dfrac{1}{u}\cdot du$

Substituindo temos

$\dfrac{1}{u}\cdot du\\\\\\\dfrac{1}{Cos(x)} \cdot -Sen(x)\\\\\\\dfrac{-Sen(x)}{Cos(x)} \\\\\\-\left ( \dfrac{Sen(x)}{Cos(x)} \right)\\\\\\\boxed{-(Tan(x))}$

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