Question

Assinale a alternativa correspondente ao valor da integral definida abaixo:
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Answer 1

Resposta:

a)

Explicação passo-a-passo:

Considerando que $5x-10=u$, temos que $\frac{du}{dx}=5\therefore dx=\frac{1}{5}\;du$. Como vamos realizar uma mudança de variáveis, devemos recalcular os limites de integração. Para $x=2$, $u=5\cdot2-10=0$ e, para $x=3$, $u=5\cdot3-10=5$, logo:

$\int_2^3e^{5x-10}\;dx=\int_0^5e^u\cdot\frac{1}{5}\;du$

$\int_2^3e^{5x-10}\;dx=\frac{1}{5}\int_0^5e^u\;du$

$\int_2^3e^{5x-10}\;dx=\frac{1}{5}[e^u]_0^5$

$\int_2^3e^{5x-10}\;dx=\frac{1}{5}(e^5-e^0)$

$\int_2^3e^{5x-10}\;dx=\frac{1}{5}(e^5-1)$

$\int_2^3e^{5x-10}\;dx=\frac{e^5}{5}-\frac{1}{5}$

Answer 2

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Integral da função exponencial de base e

$\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\displaystyle\sf\int e^u~du=e^u+k}}}}$

Teorema fundamental do cálculo parte 2

$\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\displaystyle\sf\int_a^b f(x)~dx=\bigg[ g(x)\bigg]_a^b=g(b)-g(a)}}}}$

$\displaystyle\sf\int_2^3e^{5x-10}~dx=\dfrac{1}{5}\int_2^3e^{5x-10}~5~dx\\\boxed{\begin{array}{l}\rm fac_{\!\!,}a\\\sf t=5x-10\implies dt=5~dx\\\sf se~x=2\implies t=0\\\sf se~x=3\implies t=5\end{array}}\\\displaystyle\sf\dfrac{1}{5}\int_2^3e^{5x-10}~5~dx=\dfrac{1}{5}\int_0^5 e^t~dt=\dfrac{1}{5}\bigg[e^t\bigg]_0^5 \\\displaystyles\sf\dfrac{1}{5}\cdot e^5-\dfrac{1}{5}\cdot e^0=\dfrac{1}{5}e^5-\dfrac{1}{5}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\displaystyle\sf\int _2^3e^{5x-10}~dx=\dfrac{e^5-1}{5}+k}}}}$