Question

1. Nos automóveis, “o sistema mola-amortecimento dos veículos desempenha papel fundamental na isolação das vibrações resultantes destas excitações e seus principais objetivos são desde a melhoria do conforto dos passageiros a uma melhor aderência no contato pneu-piso, resultando em uma maior segurança” [ ]. Na modelagem mais simples, o sistema consiste de uma massa “M” (massa da carroceria completa), igual a 1500 kg, suportada por uma mola de suspensão principal de coeficiente de elasticidade “Ks” igual a 32 kN/m. Este sistema pode se comportar como um Oscilador Harmônico Simples na direção vertical. Nestas condições:
a) Calcule o período de oscilação do sistema;
b) Sendo a carroceria deslocada em 0,025 m da posição de equilíbrio, qual seria uma possível equação do movimento?

Answer 1

O sistema carroceria-amortecedor oscila com 1,36 segundos de período, e possui equação y(t) = 0,025cos(21,33t) metros.

a) Vamos considerar que o sistema carroceria-amortecedor realiza um movimento harmônico simples (MHS) livre, ou seja, não-amortecido.

Como não há amortecimento, o período desse movimento oscilatório pode ser calculado pela fórmula matemática:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{K_S} }$

, onde T é o período do MHS (em s), M a massa da carroceria (em kg) e Ks a constante elástica do amortecedor (em N/m).

Substituindo os valores fornecidos no enunciado:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{1500}{32000} } = 2\pi\sqrt{0,046875} = 2\pi*0,2165\\\\T = 1,36 s$

b) A modelagem desse sistema resultaria em uma equação diferencial ordinária (EDO) com uma solução geral dada por:

$y(t) = Acos(\omega * t + \phi)$

, onde y(t) representa a posição vertical da carroceria, Φ a defasagem inicial, A o deslocamento inicial necessário para dar início ao MHS, t o tempo e ω a frequência angular do MHS.

Precisamos destacar algumas informações importantes:

• Φ = 0, pois inicialmente o sistema estava sem defasagem;
• ω = Ks/M;
• A = 0,025m.

Vamos primeiro calcular a frequência angular:

$\omega = \frac{K_S}{M} = \frac{32000}{1500} = 21,33 rad/s$

Portanto, uma possível equação para esse movimento será:

$y(t) = 0,025cos(21,33t + 0) = 0,025cos(21,33t)$

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