Question

: Calcule a distˆancia entre as retas reversas r e s, sendo:
r : X = (- 1, 2, 0) + λ (1, 3, 1), λ ∈ R e s:
3 x − 2 z − 3 = 0
y − z − 2 = 0

Answer 1

Sendo os pontos $P\in r$ e $Q\in s$, além dos vetores diretores $\vec{r}$ e $\vec{s}$ das retas $r$ e $s$, respectivamente, a distância $d(r,s)$ entre essas retas é dada por:

$d(r,s)=\frac{| \vec{QP}\cdot(\vec{r}\times\vec{s}) |}{\left \| \vec{r}\times\vec{s} \right \|}$

A partir da equação de $r$ podemos definir o ponto $P(-1,2,0)$ e vetor diretor $\vec{r}=(1,3,1)$. No caso de $s$, devemos calcular dois pontos dele para determinar um ponto e vetor diretor. Considerando $z=0$, temos que $y=2$ e $x=1$ no sistema, logo o ponto $Q(1,2,0)\in s$.

Considerando agora $z=-2$, achamos que $y=0$ e $x=-1/3$, achando assim o 2º ponto $Q'(-1/3,0,-2)$. Daí tiramos o vetor diretor $\vec{s}=\vec{Q'Q}=(4/3,2,2)$. Para trabalharmos apenas com números inteiros e facilitar os cálculos, vamos multiplicar este vetor por 3/2, trabalhando assim com $\vec{s}=(2,3,3)$.

Vamos agora calcular o produto vetorial $\vec{r}\times\vec{s}$:

$\vec{r}\times\vec{s}=\begin{vmatrix}i&j&k\\1&3&1\\2&3&3\end{vmatrix}$

$\vec{r}\times\vec{s}=i\cdot3\cdot3+j\cdot1\cdot2+k\cdot3\cdot1-(k\cdot3\cdot2+j\cdot1\cdot3+i\cdot3\cdot1)$

$\vec{r}\times\vec{s}=9i+2j+3k-6k-3j-3i$

$\vec{r}\times\vec{s}=6i-j-3k=(6,-1,-3)$

Nos falta agora calcular $\vec{PQ}$:

$\vec{PQ}=(1,2,0)-(-1,2,0)$

$\vec{PQ}=(2,0,0)$

Com isso já podemos definir a distância entre as retas:

$d(r,s)=\frac{| \vec{QP}\cdot(\vec{r}\times\vec{s})|}{\left \| \vec{r}\times\vec{s} \right \|}$

$d(r,s)=\frac{| (2,0,0)\cdot(6,-1,-3) |}{\left \| (6,-1,-3) \right \|}$

$d(r,s)=\frac{| 2\cdot6+0\cdot(-1)+0\cdot(-3)|}{\sqrt{6^2+(-1)^2+(-3)^2}}$

$d(r,s)=\frac{12}{\sqrt{46}}\text{ u.c}$