• Matéria: Matemática
  • Autor: kawannamello61
  • Perguntado 5 anos atrás

: Calcule a distˆancia entre as retas reversas r e s, sendo:
r : X = (- 1, 2, 0) + λ (1, 3, 1), λ ∈ R e s:
3 x − 2 z − 3 = 0
y − z − 2 = 0

Respostas

respondido por: Zecol
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Sendo os pontos P\in r e Q\in s, além dos vetores diretores \vec{r} e \vec{s} das retas r e s, respectivamente, a distância d(r,s) entre essas retas é dada por:

d(r,s)=\frac{| \vec{QP}\cdot(\vec{r}\times\vec{s}) |}{\left \| \vec{r}\times\vec{s} \right \|}

A partir da equação de r podemos definir o ponto P(-1,2,0) e vetor diretor \vec{r}=(1,3,1). No caso de s, devemos calcular dois pontos dele para determinar um ponto e vetor diretor. Considerando z=0, temos que y=2 e x=1 no sistema, logo o ponto Q(1,2,0)\in s.

Considerando agora z=-2, achamos que y=0 e x=-1/3, achando assim o 2º ponto Q'(-1/3,0,-2). Daí tiramos o vetor diretor \vec{s}=\vec{Q'Q}=(4/3,2,2). Para trabalharmos apenas com números inteiros e facilitar os cálculos, vamos multiplicar este vetor por 3/2, trabalhando assim com \vec{s}=(2,3,3).

Vamos agora calcular o produto vetorial \vec{r}\times\vec{s}:

\vec{r}\times\vec{s}=\begin{vmatrix}i&j&k\\1&3&1\\2&3&3\end{vmatrix}

\vec{r}\times\vec{s}=i\cdot3\cdot3+j\cdot1\cdot2+k\cdot3\cdot1-(k\cdot3\cdot2+j\cdot1\cdot3+i\cdot3\cdot1)

\vec{r}\times\vec{s}=9i+2j+3k-6k-3j-3i

\vec{r}\times\vec{s}=6i-j-3k=(6,-1,-3)

Nos falta agora calcular \vec{PQ}:

\vec{PQ}=(1,2,0)-(-1,2,0)

\vec{PQ}=(2,0,0)

Com isso já podemos definir a distância entre as retas:

d(r,s)=\frac{| \vec{QP}\cdot(\vec{r}\times\vec{s})|}{\left \| \vec{r}\times\vec{s} \right \|}

d(r,s)=\frac{| (2,0,0)\cdot(6,-1,-3) |}{\left \| (6,-1,-3) \right \|}

d(r,s)=\frac{| 2\cdot6+0\cdot(-1)+0\cdot(-3)|}{\sqrt{6^2+(-1)^2+(-3)^2}}

d(r,s)=\frac{12}{\sqrt{46}}\text{ u.c}

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