Uma indústria alimentícia embala produtos com um volume de 800cm³ em embalagens cilíndricas. O departamento de inovação de produtos está analisando as melhores dimensões para construir a embalagem sendo utilizado como material o alumínio e elencou você para auxiliar no processo.
a) Estime a altura da embalagem cilíndrica e seu raio, para que esta apresente a menor área superficial.
b) Se o custo da embalagem for de R$50,00/m², estime o custo por embalagem considerando que ela terá fundo e tampa fechadas do mesmo material.
Respostas
Resposta:
A=2(πr^2)+2πr*h
A=2(πr^2)+2πr*800
A=2(πr^2)+2πr*1600
Área da embalagem
Calcular o mínimo da equação A para descobrir valor mínimo de r. derivar A e igualar a zero.
A'=2πr^2+1600/r
A^'=(2*2πr)+1600*(-1/r²)
A^'=4πr-1600/r²
Igualar a zero
4πr-1600/r²=0
r^3=1600/4π
r^ =∛1600/4π
r=5,03 cm
Altura
h=800/πr^2
h=800 /π*5,03²
h=800/79,48
h=10,06 cm
Área
A=2πr^2+1600/r
A=(2*π*5,03^2)+1600/5,03
A=158,97+318,09
A=477,06 cm²
Embalagem terá área de 477,06cm², altura de 10,06cm, raio de 5,03 cm
Valor = R$ 50,00/m²
477,06 cm² = 0,0477m²
0,0477*50 = 2,38
O valor estimado de cada embalagem é de R$ 2, 68 und.
Explicação passo-a-passo:
a) A altura e raio devem ser igual a respectivamente 10,07 cm e 5,03 cm.
b) O custo de uma embalagem é igual a R$ 2,38.
Nesse caso temo um cilindro cujo volume é dado por:
V = πr² . h = 800
Portanto, h = 800/πr² (Equação 01)
A área total da embalagem cilíndrica é dada pela área da base, tampa e do corpo:
A = 2πr² + 2πrh
Substituindo aqui a Equação 01, temos que:
A = 2πr² + 2πr(800/πr²)
A = 2πr² + 1600/r
Para que tenhamos a menor área, vamos derivar a equação e iguala-la a zero:
A' = 4πr - 1600/r² = 0
4πr = 1600/r²
r³ = 1600/4π
r = ∛127,39
r = 5,03 cm
Assim, para que tenha a menor área, o raio deve ser igual a 5,03 cm e a altura:
h = 800/π.(5,03)²
h = 10,07 cm
Assim, uma embalagem terá a área de:
A = 2πr² + 1600/r
A = 2π(5,03)² + 1600/5,03
A = 476,98 cm²
Como 1 m² = 10000 cm², teremos que 476,98 cm² = 0,0477 m². Logo, o preço da embalagem será de:
0,0477 x 50,00 = R$ 2,38
Espero ter ajudado!