Question

2) quantas comissões de 4 alunos podem ser formadas numa classe de 7 alunos ?
a) 120
b) 360
c) 540
d) 840
( alguém pode me ajudar? preciso com urgência)​

Answer 1

Vamos chamar o conjunto de alunos de $A$ , sendo $A = \left\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7\right\}$, onde $a_i \neq a_j\text{ para } i\neq j$. A questão pede para encontrar quantas comissões $C = \left\{c_1,c_2,c_3,c_4\right\}$ podem ser formadas. Isso pode ser feito utilizando o P.F.C (Princípio Fundamental da Contagem). Observe que temos 7 "escolhas" para o elemento $c_1$, visto que ele pode ser qualquer elemento do conjunto $A$. O elemento $c_2$ pode ser qualquer pessoa do conjunto , exceto a pessoa "escolhida" pelo elemento $c_1$, ou seja, possui 6 "escolhas". Seguindo essa lógica, vamos ter 5 escolhas para o elemento $c_3$ e 4 escolhas para o elemento $c_4$. Pelo P.F.C:

$R = 7\cdot6\cdot5\cdot4$

$R = 840$

Teríamos 840 comissões. Agora vamos imaginar uma comissão seguindo essa organização:

$c_1$ "escolhe" $a_1$

$c_2$ "escolhe" $a_2$

$c_3$ "escolhe" $a_3$

$c_4$ "escolhe" $a_4$

Esta seria uma comissão válida, porém a comissão seguinte também é válida:

$c_1$ "escolhe" $a_2$

$c_2$ "escolhe" $a_1$

$c_3$ "escolhe" $a_3$

$c_4$ "escolhe" $a_4$

Essas duas comissões são iguais, visto que possuem os mesmos alunos, porém a nossa contagem considera as duas como diferentes devido a orem e conta ela várias vezes. A solução é dividir o nosso resultado pela permutação entre os elementos das comissões, resultando em comissões únicas. Como as comissões tem 4 elementos, temos que sua permutação é 4!. Pelo P.F.C:

$R = \dfrac{7\cdot6\cdot5\cdot4}{4!}$

$R = \dfrac{7\cdot6\cdot5\cdot4}{4\cdot3\cdot2}$

$R = 35$

É possível formar 35 comissões.