Question

(50 PONTOS) A respeito da função
$f:\;\mathbb{C}\to \mathbb{C}$
definida pela lei $f(z)=e^{z}.$
Da forma que $f$ está definida, $f$ é injetora? Justifique (se sim ou não).

Answer 1

sean $p$ e $q$ dos números en $\mathbb C$, partiremos de
$f(p)=f(q)\\ \\ e^p=e^q\\ \\ e^{p-q}=1\\ \\ \cos (\frac{p-q}{i})+i\sin(\frac{p-q}{i})=1\\ \\ \begin{cases} \cos (\frac{p-q}{i})=1\\\sin(\frac{p-q}{i})=0 \end{cases}\\ \\ \frac{p-q}{i}=2\pi k\wedge \frac{p-q}{i}=\pi k'\\ \\ p-q=2\pi n\;i\\ \\ \boxed{p=q+2\pi n\; i\;,\; \forall n\in \mathbb Z} \\ \\.$

Entonces f no es inyectiva