Question

A probabilidade de um atirador errar um alvo com um tiro é de 60%. Fazendo 7 tentativas, qual a probabilidade de que ele acerte o alvo três vezes? ( Considere apenas a parte inteira da resposta) *

A) 19

B) 29

C) 35

D) 31

E) Nenhuma das outras alternativas

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades sobre o cálculo de distribuições e probabilidades complementares.

A probabilidade de um atirador errar um alvo com um tiro é de $60%$. Fazendo $7$ tentativas, qual a probabilidade de que ele acerte o alvo três vezes?

Para isso, considere acertos como $A$ e erros como $E$.

A distribuição total de acertos e erros em $n$ tentativas é calculada pela fórmula: $\boxed{\displaystyle{\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}A^{n-k}E^k}}$

O termo geral dessa distribuição é calculado pela fórmula: $\boxed{\displaystyle{T_{n,\,k}=\binom{n}{k}A^{n-k}E^k}}$

Dado que a chance de errar o tiro é igual a $60\%$, facilmente deduz-se que a chance de acerto é de $40\%$.

Dessa forma, calculamos o termo geral com $n=7$ e $n-k=3$, ou seja, $k=4$.

$\displaystyle{T_{7,~4}=\binom{7}{4}(40\%)^{7-4}(60\%)^4}$

Calcule o número binomial, lembrando que $\displaystyle{\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!},~n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots1}$

Reescreva as porcentagens como frações e simplifique-as

$\dfrac{7!}{4!\cdot (7-4)!}\cdot\left(\dfrac{40}{100}\right)^3\cdot\left(\dfrac{60}{100}\right)^4\\\\\\ \dfrac{7!}{4!\cdot3!}\cdot\left(\dfrac{2}{5}\right)^3\cdot\left(\dfrac{3}{5}\right)^4$

Calcule os fatoriais e as potências

$\dfrac{7\cdot6\cdot5\cdot4!}{4!\cdot3\cdot2\cdot1}\cdot\dfrac{2^3}{5^3}\cdot\dfrac{3^4}{5^4}\\\\\\ \dfrac{210}{6}\cdot\dfrac{8}{125}\cdot\dfrac{81}{625}$

Multiplique as frações

$35\cdot\dfrac{648}{78125}\\\\\\ \dfrac{4536}{15625}$

Calculando esta fração, temos o resultado aproximado:

A probabilidade de que, nestas $7$ tentativas e com probabilidade de erro igual a $60\%$, o atirador acerte o alvo três vezes é de aproximadamente $\bold{29\%}$ e é a resposta contida na letra b).