Question

dados os vetores a=8,6 e b -2,6, encontrar os vetores p e q..tais que p e ortogonal a b, q paralelo a b e vetor a= p+ q​

Answer 1

Considerando que $\vec{p}=(x,y)$ e $\vec{q}=(m,n)$, sendo $\vec{p}\perp \vec{b}$:

$\vec{p}\cdot\vec{b}=0$

$(x,y)\cdot(-2,6)=0$

$-2x+6y=0$

$x-3y=0$

$x=3y$

Como $\vec{q}$ é paralelo a $\vec{b}$, deve existir um número real $k$ tal que:

$\vec{q}=k\cdot\vec{b}$

$(a,b)=(-2k,6k)$

Daí tiramos que $a=-2k$ e $b=6k$. Isolando $k$, achamos que $\frac{a}{-2}=\frac{b}{6}\therefore b=-3a$. Podemos então reescrever os vetores $\vec{p}$ e $\vec{q}$ como $\vec{p}=(3y,y)$ e $\vec{q}=(a,-3a)$. Por fim, sendo $\vec{a}=\vec{p}+\vec{q}$:

$(8,6)=(3y,y)+(a,-3a)$

$(8,6)=(3y+a,y-3a)$

Tirando  daí o seguinte sistema:

$\left \{ {{3y+a=8} \atop {y-3a=6}} \right.$

Multiplicando a 1º equação por 3:

$\left \{ {{9y+3a=24} \atop {y-3a=6}} \right.$

Aplicando o método da adição:

$9y+y=24+6$

$10y=30$

$y=3$

Sendo $3y+a=8$, concluímos que $a=8-9=-1$, logo $\vec{p}=(9,3)$ e $\vec{q}=(-1,3)$.