Em um jogo de tênis, um dos jogadores baterá na bola a uma distância de 8,6 metros da rede que possui aproximadamente 1m de altura. A raquete bateu na bola fazendo um ângulo de 19 graus, no sentido de fazer a bola subir. Admita que a bola sofre o impacto a 1,4m do chão e despreze o atrito com o ar. Sabendo que g = 9,8m/s², calcule as componentes e o módulo da velocidade mínima que a bola precisa para atravessar para o outro lado sem encostar na rede.
Respostas
A velocidade mínima terá módulo de 10,92 m/s e componentes horizontal de 10,34 m/s e vertical 3,52 m/s.
Anexei uma figura no final desta resolução, para facilitar o entendimento.
A questão já nos forneceu os seguintes dados:
- H = altura do arremesso = 1,4m;
- h = altura da rede = 1m
- d = distância entre o arremesso e a rede = 8,6m;
- g = 9,8 m/s²;
- θ = ângulo do arremesso = 19º;
- Não há atrito entre a bola e o ar.
Importante também entender que, se a bola deve passar acima da rede, a menor velocidade será a mesma que fará com que a bola passe logo acima da rede, ou seja, ela deve passar pelo ponto (8,6m , 1m).
No eixo horizontal x:
Nesse eixo a bola vai realizar movimento uniforme (MU) com velocidade constante Vx. Para a bola percorrer os 8,6 metros até a rede ela gastará:
S = So + Vx*t
8,6 = 0 + Vx*t
t = 8,6/Vx
No eixo vertical y:
Na vertical, a bola realiza um movimento uniformemente variado (MRUV). Olhando para a figura, podemos ver que, no eixo y (em verde), a bola está inicialmente em y = H = 1,4m e vai passar por y = h = 1m. Desta forma, sua equação horária é:
h = H + Vy*t - gt²/2
1 = 1,4 + Vy*t - 4,8t²
-4,8t² + Vy*t + 0,4 = 0
Substituindo o tempo que calculamos no eixo horizontal nessa expressão:
-4,8*(8,6/Vx)² + Vy*8,6/Vx + 0,4 = 0
-355,01/Vx² + 8,6Vy/Vx + 0,4 = 0
Multiplicando todos os membros por Vx²:
-355,01 + 8,6VxVy + 0,4Vx² = 0
Guardaremos essa equação para usarmos logo em seguida. Agora devemos trabalhar com os vetores.
Olhando novamente para a figura anexada, podemos deduzir a seguinte relação via trigonometria:
tg19º = Vy/Vx
0,34 = Vy/Vx
Vy = 0,34Vx
Substituindo essa relação na nossa equação anterior, a componente horizontal é:
-355,01/Vx² + 8,6*(0,34Vx)/Vx + 0,4 = 0
-355,01/Vx² + 2,92 + 0,4 = 0
-355,01/Vx² + 3,32 = 0
355,01/Vx² = 3,32
3,32Vx² = 355,01
Vx² = 355,01/3,32 = 106,93
Vx = √(106,93) = 10,34 m/s
E a componente vertical vale:
Vy = 0,34Vx = 0,34*10,34 = 3,52 m/s
Por fim, aplicando trigonometria novamente nos vetores, o módulo da velocidade mínima será:
V² = Vx² + Vy² = 10,34² + 3,52² = 106,92 + 12,39 = 119,31
V = √(119,31) = 10,92 m/s
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