Question

Dados u = (1, 2) e v = (−1, 2) , sejam W1 e W2 respectivamente as retas que passam pela origem de IR2 e contem u e v. Mostre que IR2 = W1 ⊕ W2.

Answer 1

Dados u e v pertencentes à R², primeiro provaremos que os conjuntos W₁ e W₂ definido por

$W_1 = \{w \in \mathbb{R}^2 \, :\, w = \lambda u, \, \lambda \in \mathbb{R}\}$

$W_2 = \{w \in \mathbb{R}^2 \, :\, w = \lambda v, \, \lambda \in \mathbb{R}\}$

são sub-espaços vetoriais de R². Um conjunto W é subespaço vetorial de V se W satisfaz

$i)\, U\subset V$

$ii) \, 0_V \in W$

$iii)\, (W, +, *)\, e\´ \hspace{0.15cm} espa\c{c}o \hspace{0.1cm} vetorial$

Como W₁ e W₂ são retas no plano, eles estão contidos no R², portanto, a primeira preposição é verdadeira. A segunda também é, uma vez que é dado que W₁ e W₂ passam pela origem, ou seja, pelo zero, portanto zero pertence à W₁ e W₂. O último é facilmente obtido, já que, dados u₁ e u₂ em W₁ e w₁ e w₂ em W₂ e α um escalar,

$u_1+\alpha u_2 = \lambda_1 u+ \alpha \lambda_2 u = (\lambda_1+\alpha \lambda_2) u \in W_1$

$v_1+\alpha v_2 = \lambda_1 v+ \alpha \lambda_2 v = (\lambda_1+\alpha \lambda_2) v \in W_2$

Deste modo, W₁ e W₂ são sub-espaços vetoriais de R^2. Queremos provar agora que a soma de W₁ e W₂ é direta, ou seja, o espaço gerado por vetores de W₁ e W₂ é igual ao espaço do R^2. Por definição, a soma de dois sub-espaços é soma direta se, e somente se

$W_1 \cap W_2 = \{0_V\}$

Ou seja, o único vetor que pertence aos dois sub-espaços ao mesmo tempo é somente o zero. Vamos supor que existe vetor w diferente de zero tal que w pertença à W₁ e W₂. Assim, pela definição, w é simultâneamente do tipo

$w = \lambda_1 u\\w = \lambda_2 v$

$w = \lambda_1 \left[\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right] = \lambda_2 \left[\begin{array}{c}-1\\2\end{array}\right]$

$\implies\left[\begin{array}{c}\lambda_1\\2\lambda_1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-\lambda_2\\2\lambda_2\end{array}\right]$

Perceba que, pela segunda coordenada, λ₁ = λ₂, no entanto, pela primeira, λ₁ = -λ₂, assim,

$\lambda_1 = -\lambda_2 = -\lambda_1 \iff \lambda_1 = -\lambda_1$

$\implies \lambda_1 = \lambda_2 = 0$

$\therefore w = \left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right] = 0_{\mathbb{R}^2} \implies W_1 \cap W_2 = \{0_{\mathbb{R}^2} \}$

Chegando, por fim, que

$W_1 \oplus W_2 = \mathbb{R}^2$

Como queríamos demonstrar.