Question

Em uma PG decrescente de três termos, a soma do primeiro com o segundo termo é 186 e o produto do primeiro pelo terceiro termo é 3844. Determine o terceiro termo dessa PG

Answer 1

Uma progressão geométrica é uma sequência

$\{a_1, a_2,a_3, \dots a_n\}$

Tal que cada termo seguinte é q vezes o termo anterior, onde q é chamado de razão da PG,

$a_k = q*a_{k-1}$

Podemos obter o n-ésimo termo da progressão, pela relação de recorrência acima, obtendo

$a_k = q^{k-1}a_1$

Outro resultado importante sobre progressões geométricas está em sua relação com a média geométrica. A média geométrica dos termos é a média aritmética dos índices. ou seja,

$\sqrt{a_i a_j} = \sqrt{q^{i-1}a_1 q^{j-1} a_1} = \sqrt{q^{i+j-2}a_1^2}$

Se i+j é múltiplo de 2, então,

$\sqrt{a_i a_j} = q^{\frac{i+j}{2}-1} a_1 = a_{\frac{i+j}{2}}$

Em nosso exercício temos as seguintes preposições

$i)\, |q| < 1$

$ii)\, a_1+ a_2 = 186$

$iii)a_1 a_3 = 3844$

Perceba que pela terceira preposição, obtemos o segundo termo diretamente, pois,

$a_2 = \sqrt{a_1 a_3} = \sqrt{3844} = 62$

Pela segunda preposição obtemos o primeiro termo diretamente,

$a_1+a_2 = a_1+64 = 186$

$a_1 = 122$

Para obter o terceiro termo podemos recorrer à terceira expressão, já que agora sabemos o primeiro termo,

$a_1a_3 = 3844$

$a_3 = \dfrac{3844}{122} \approx 31.51$