Question

(n-1)!/(n-2)!=24
lim x3-1/x-1 quando x tende para 1

Answer 1

Resposta:

1)     $\lim_{x\to1}\dfrac{x^3-1}{x-1}=3$

2)   $n=25$

Explicação passo-a-passo:

Vamos encontrar as soluções de cada questão. Na primeira, tem-se:

$\dfrac{(n-1)!}{(n-2)!} = 24$

Sabemos que a função fatorial (indicada pela exclamação) representa a multiplicação de um natural por todos os seus antecessores. Utilizando essa informação para o numerador da fração acima:

$(n-1)!=(n-1)\times\underbrace{(n-2)\times(n-3)\times\dots\times3\times2\times1}_{(n-2)!}\\\\(n-1)!=(n-1)\times(n-2)!$

Substituindo na equação dada:

$\dfrac{(n-1)\times(n-2)!}{(n-2)!} = 24\\\\(n-1)= 24\\\\n=24+1\\\\\boxed{n=25}$

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Na segunda questão, pede-se para calcular o limite L:

$L=\lim_{x\to1}\dfrac{x^3-1}{x-1}$

Note que temos uma indeterminação do tipo 0/0 no limite, obtida ao substituirmos $x$ por 1 na expressão. Assim, precisamos eliminar essa indeterminação.

A expressão do numerador (diferença de dois cubos) pode ser reescrita na forma de um produto notável. Veja:

$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$

Utilizando isso na expressão de L, podemos desenvolver a expressão e eliminar a indeterminação:

$L=\lim_{x\to1}\dfrac{x^3-1}{x-1}\\\\L=\lim_{x\to1}\dfrac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}\\\\L=\lim_{x\to1}(x^2+x+1)\\\\L = 1^2+1+1=3\\\\\boxed{\lim_{x\to1}\dfrac{x^3-1}{x-1}=3}$

Uma alternativa à solução seria aplicar diretamente o Teorema de L'Hôpital, aplicável no caso de indeterminações do tipo 0/0:

$L=\lim_{x\to1}\dfrac{x^3-1}{x-1}=\lim_{x\to1}\dfrac{(x^3-1)'}{(x-1)'}\\\\L=\lim_{x\to1}\dfrac{3x^2-0}{1-0}=\lim_{x\to1}(3x^2)\\\\L=3\cdot1^2=3\cdot1=3\\\\\boxed{\lim_{x\to1}\dfrac{x^3-1}{x-1}=3}$