Question

qual o valor de k ? combinação linear

O valor de "k" para que o vetor w=(2,4,k) seja uma combinação linear dos vetores u=(1,1,2) e v=(0,2,3)

Answer 1

Um vetor w é combinação linear de outros vetores u e v se ele pode ser escrito como

$w = \alpha u+\beta v$

Com α e β escalares reais. Sabemos as coordenadas de u e v e parte das coordenadas de w, de modo que a equação acima torna-se

$\left[\begin{array}{c}2\\4\\k\end{array}\right] = \alpha \left[\begin{array}{c}1\\1\\2\end{array}\right]+\beta \left[\begin{array}{c}0\\2\\3\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}2\\4\\k\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}\alpha\\\alpha+2\beta\\2\alpha+3\beta\end{array}\right]$

Perceba que podemos obter facilmente os valores de α e β, assim,

$\alpha =2$

$2\beta = 4-2 \iff \beta = 1$

Obtemos k pela terceira coordenada,

$k = 2\alpha+3\beta = 2*2+3*1 = 7$

Assim, o vetor w deve ser

$w =\left[\begin{array}{c}2\\4\\7\end{array}\right]$

Para ser combinação linear de (1, 1, 2) e (0, 2, 3).