Matéria: Matemática
Autor: LucasFFC
Perguntado 5 anos atrás

Calcule:
${2}^{(3x - 2)} = {3}^{(2 - x)}$
(:

Respostas

respondido por: Nasgovaskov

Temos uma equação exponencial, pois x se encontra no expoente:

$\begin{array}{l}\\\sf2^{3x-2}=3^{2-x}\\\\\end{array}$

Para resolver este tipo de equação, a ideia era deixar as bases iguais para igualar os expoentes, mas como vemos, as bases (2 e 3) são diferentes.

Então podemos aplicar logaritmo na equação, pois dele há uma propriedade que nos permite tirar a incógnita do expoente mesmo com as bases sendo diferentes.

$~~$

Então aplicando logaritmo (na base 2) em ambos os membros...

$\begin{array}{l}\\\sf log_{\:2}~(2^{3x-2})=log_{\:2}~(3^{2-x})\\\\\end{array}$

podemos aplicar a propriedade logₐ (bᶜ) ⇔ c * logₐ (b), assim passando o expoente multiplicando:

$\begin{array}{l}\\\sf(3x-2)\cdot log_{\:2}~(2)=(2-x)\cdot log_{\:2}~(3)\\\\\end{array}$

Agora, como a base e o logaritmando são iguais, implica que é igual a 1 logₐ (a) ⇔ 1. Por esse motivo que apliquei na base 2:

$\begin{array}{l}\\\sf(3x-2)\cdot1=(2-x)\cdot log_{\:2}~(3)\\\\\sf3x-2=(2)\cdot log_{\:2}~(3)+(-x)\cdot log_{\:2}~(3)\\\\\sf3x-2=2log_{\:2}~(3)-xlog_{\:2}~(3)\\\\\end{array}$

Feita a distributiva, vamos isolar tudo que tem a incógnita de um lado:

$\begin{array}{l}\\\sf xlog_{\:2}~(3)+3x-2=2log_{\:2}~(3)-xlog_{\:2}~(3)+xlog_{\:2}~(3)\\\\\sf xlog_{\:2}~(3)+3x-2=2log_{\:2}~(3)\\\\\sf2+xlog_{\:2}~(3)+3x-2=2log_{\:2}~(3)+2\\\\\sf xlog_{\:2}~(3)+3x=2log_{\:2}~(3)+2\\\\\sf x\cdot(log_{\:2}~(3)+3)=2log_{\:2}~(3)+2\\\\\sf\dfrac{x\cdot\cancel{(log_{\:2}~(3)+3)}}{\cancel{log_{\:2}~(3)+3}}=\dfrac{2log_{\:2}~(3)+2}{log_{\:2}~(3)+3}\\\\\sf x=\dfrac{2log_{\:2}~(3)+2}{log_{\:2}~(3)+3}\\\\\end{array}$

Agora aplicando a mesma propriedade do inicio mas fazendo o processo inverso c * logₐ (b) ⇔ logₐ (bᶜ):

$\begin{array}{l}\\\sf x=\dfrac{log_{\:2}~(3^2)+2}{log_{\:2}~(3)+3}\\\\\sf x=\dfrac{log_{\:2}~(9)+2}{log_{\:2}~(3)+3}\\\\\end{array}$

Como já sabemos que 1 ⇔ logₐ (a), então: podemos fazer:

$\begin{array}{l}\\\sf x=\dfrac{log_{\:2}~(9)+2\cdot1}{log_{\:2}~(3)+3\cdot1}\\\\\sf x=\dfrac{log_{\:2}~(9)+2\cdot log_{\:2}~(2)}{log_{\:2}~(3)+3\cdot log_{\:2}~(2)}\\\\\sf x=\dfrac{log_{\:2}~(9)+log_{\:2}~(2^2)}{log_{\:2}~(3)+log_{\:2}~(2^3)}\\\\\sf x=\dfrac{log_{\:2}~(9)+log_{\:2}~(4)}{log_{\:2}~(3)+log_{\:2}~(8)}\\\\\end{array}$

Aplicando a propriedade em que a soma de logaritmos na mesma base se torna um logaritmo com o produto dos logaritmando logₐ (b) + logₐ (c) ⇔ logₐ (b*c):

$\begin{array}{l}\\\sf x=\dfrac{log_{\:2}~(9\cdot4)}{log_{\:2}~(3\cdot8)}\\\\\sf x=\dfrac{log_{\:2}~(36)}{log_{\:2}~(24)}\\\\\end{array}$

E agora por fim, fazendo o processo inverso da propriedade da mudança de base ( logₓ (b) )/( logₓ (a) ) ⇔ logₐ (b):

$\begin{array}{l}\\\sf x=log_{\:24}~(36)\\\\\sf x=log_{\:24}~(6^2)\\\\\sf x=2\cdot log_{\:24}~(6)\\\\\!\boxed{\sf x=2log_{\:24}~(6)}\sf~\to~valor~de~x~encontrado\end{array}$