Question

divida o numero 380 em tres partes inversamente proporcionais a 2, 5 e 4

Answer 1

Resposta:

Grandezas inversamente proporcionais:

$\sf \displaystyle \begin{cases} \sf x +y + x = 380 \\ \\ \sf \dfrac{x}{\dfrac{1}{2} } = \dfrac{y}{\dfrac{1}{5} } = \dfrac{z}{\dfrac{1}{4} } \end{cases}$

Resolução:

$\sf \displaystyle \begin{cases} \sf x +y + x = 380 \\ \sf 2x = 5y = 4z \end{cases}$

Igualar a segunda equação por constante de proporcionalidade k:

$\sf \displaystyle 2x = k \to x = \dfrac{k}{2}$

$\sf \displaystyle 5y = k \to y = \dfrac{k}{5}$

$\sf \displaystyle 4z = k \to z = \dfrac{z}{4}$

Agora substituir na primeira equação:

${ \sf \displaystyle x +y + z = 380$

${ \sf \displaystyle \dfrac{k}{2 } + \dfrac{k}{5} + \dfrac{k}{4} = 380 \quad \gets \mbox{ \sf m.m.c de (2, 4, 5 ) = 20 }$

${ \sf \displaystyle \dfrac{10k}{20 } + \dfrac{4k}{20} + \dfrac{5k}{20} = \dfrac{7600}{20} \quad \gets \mbox{ \sf Cancelar o denominador 20. }$

$\sf \displaystyle 10k + 4k + 5k = 7600$

$\sf \displaystyle 19k = 7600$

$\sf \displaystyle k = \dfrac{7600}{19}$

$\sf \displaystyle k = 400$

Determinar o valor de x, substituindo o valor k:

$\sf \displaystyle x = \dfrac{k}{2}$

$\sf \displaystyle x = \dfrac{400}{2}$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \sf \displaystyle x = 200 }}} \quad \gets \mathbf{ Resposta }$

Determinar o valor de y, substituindo o valor k:

$\sf \displaystyle y = \dfrac{k}{5}$

$\sf \displaystyle y = \dfrac{400}{5}$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \sf \displaystyle y = 80 }}} \quad \gets \mathbf{ Resposta }$

Determinar o valor de z, substituindo o valor k:

$\sf \displaystyle z = \dfrac{k}{4}$

$\sf \displaystyle z = \dfrac{400}{4}$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \sf \displaystyle z= 100 }}} \quad \gets \mathbf{ Resposta }$

Explicação passo-a-passo:

Grandezas inversamente proporcionais:

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão entre dois valores da primeira é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da segunda.