Question

Os comprimentos dos vectores a e b são: 3 e 26 unidades respectivamente . O produto vectorial a e b tem o comprimento igual a 72 unidades. Calcula o produto escalar de vector a* b​

Answer 1

Sabendo que há uma relação entre o ângulo entre os vetores a e b e os produtos escalar e vetorial de modo que

$\| a\cdot b\| = \|a\| \,\|b\| \, \cos(\theta)$

$\|a\times b\| = \|a\|\,\|b\|\, \sin(\theta)$

A partir disso podemos manipular as igualdades deste modo

$\|a\cdot b\|^2+\|a\times b\|^2 = \|a\|^2\,\|b\|^2\, \cos^2(\theta)+ \|a\|^2\,\|b\|^2\, \sin^2(\theta)\\\\=\|a\|^2\,\|b\|^2\, (\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)) = \|a\|^2\,\|b\|^2$

Portanto,

$\|a\cdot b\|^2+\|a\times b\|^2 = \|a\|^2\,\|b\|^2$

Sabemos todas as quantidades, exceto a norma do produto escalar, portanto,

$\|a\cdot b\|^2+72^2 =3^2\,26^2$

$\|a\cdot b\|^2+5184 =9\cdot 676 = 6084$

$\|a\cdot b\|^2 = 6084-5184 = 900$

Pela positividade da norma, o comprimento do produto escalar é

$\|a\cdot b\| = 30$