Question

Sabendo que os pontos A (-3 , -1) e B (1 , 2) pertencem a uma circunferência, e que a sua distância é igual ao diâmetro dessa circunferência, indica a medida do seu raio, e as coordenadas do seu centro, "O"

Answer 1

Resposta:

d=5 se o diametro é 5 a origem vai ser 2,5

Explicação passo-a-passo:

$d=\sqrt{(x-x_{o})^{2} +(y-y_{o})^{2} } \\d=\sqrt{(1-(-3))^2+((-2)-1)^2}\\d=\sqrt{16+9} \\d=\sqrt{25} \\d=5$

Answer 2

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⠀⠀☞ A distância do segmento que interliga os dois pontos A e B nos revela o dobro do raio enquanto que o ponto médio deste segmento nos revela o centro da nossa circunferência, sendo o raio igual à 2,5 e o centro localizado em x = -1 e y = 0.5.✅

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⠀⠀ Inicialmente vamos encontrar a distância entre os dois pontos através da equação:

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl} & & \\ & \orange{\rm d_{a, b} = \sqrt{(x_{b}  - x_{a})^{2}  + (y_{b}  - y_{a})^{2}} } & \\ & & \\ \end{array}}}}}$

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⠀⠀Com as coordenadas dos pontos A e B temos que:

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$\Large\blue{\sf d = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (1 - (-3))^2}}$

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$\LARGE\blue{\sf d = \sqrt{3^2 + 4^2}}$

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$\LARGE\blue{\sf d = \sqrt{9 + 16}}$

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$\LARGE\blue{\sf d = \sqrt{25}}$

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$\LARGE\blue{\sf d = 5}$

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⠀⠀Sabendo que a distância entre os 2 pontos é igual ao diâmetro da circunferência e lembrando que o diâmetro equivale ao dobro do raio, então:

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$\LARGE\blue{\sf r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{5}{2} = 2,5}$ ✅

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⠀⠀Para encontrarmos o centro dessa circunferência basta encontrarmos o ponto médio do segmento que liga os dois pontos, pois o além do segmento AB passar pelo centro sabemos também que o centro equidista dos pontos).

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$\LARGE\blue{\sf P_m = (\dfrac{-3 + 1}{2}, \dfrac{-1 + 2}{2})}$

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$\LARGE\blue{\sf P_m = (\dfrac{-2}{2}, \dfrac{1}{2})}$

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$\LARGE\blue{\sf P_m = (-1, 0.5)}$ ✅

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$\Large\red{\sf Dist\hat{a}ncia~entre~dois~pontos}$

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⠀⠀Quando dois pontos são paralelos ao eixo das abscissas (x) ou das ordenadas (y) podemos verificar isto pela sua igualdade nas coordenadas x ou y e portanto sua distância será a diferença na coordenada que não está alinhada. Quando dois pontos não são paralelos aos eixos podemos interpretar a distância entre estes dois pontos, escritos na forma de pares ordenados:

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$\orange{\sf\Large\begin{cases}\sf~~ A = (x_{a}, y_{a})\\\\ \sf~~ B = (x_{b}, y_{b}) \end{cases}}$  

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como sendo a hipotenusa de um triângulo retângulo em que os catetos são Δx e Δy de forma que:

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⠀⠀$\orange{\large\sf \Longrightarrow~\Delta x~=~dist\hat{a}ncia~de~x_{b}~at\acute{e}~x_{a}}$

⠀⠀$\orange{\large\sf \Longrightarrow~\Delta y~=~dist\hat{a}ncia~de~y_{b}~at\acute{e}~y_{a}}$

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$\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\vector(1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,1){5}}\put(0,0){\vector(-1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,-1){5}}\put(4.8,0.2){x}\put(0.2,4.8){y}\put(-3.0,0.50){\circle*{0.13}}\put(-2.75,0.75){ \sf P_{A} }\put(2.50,3.0){\circle*{0.13}}\put(2.75,3.25){ \sf P_{B} }\bezier{30}(-3.0,0.50)(-1.50,0.50)(0,0.50)\bezier{25}(2.50,3.0)(1.25,3.0)(0,3.0)\bezier{5}(-3.0,0.50)(-3.0,0.25)(-3.0,0)\bezier{30}(2.50,3.0)(2.50,1.50)(2.50,0)\bezier(-3.0,0.50)(-0.25,1.75)(2.50,3.0)\bezier(2.50,3.0)(2.50,1.75)(2.50,0.5)\put(2.50,0.5){\circle*{0.13}}\bezier(2.50,0.5)(-0.25,0.5)(-3.0,0.50)\put(2.8,1.65){\huge \sf \Delta y }\put(-0.5,-0.7){\huge \sf \Delta x }\end{picture}$

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$\sf (Esta~imagem~n\tilde{a}o~\acute{e}~visualiz\acute{a}vel~pelo~App~Brainly$ ☹ )

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⠀⠀Pelo Teorema de Pitágoras podemos descobrir a hipotenusa deste triângulo pela seguinte manipulação algébrica:

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$\large\orange{\sf d^{2} = (\Delta\ x)^{2}  + (\Delta\ y)^{2}}$

$\large\orange{\sf d^{2} = (x_{b}  - x_{a})^{2}  + (y_{b}  - y_{a})^{2}}$

$\large\orange{\text{ \sf d =\pm \sqrt{(x_{b}  - x_{a})^{2}  + (y_{b}  - y_{a})^{2}} }}$

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⠀⠀Porém como estamos tomando a distância para medir um comprimento e sendo o comprimento uma grandeza não orientada então sempre assumiremos somente a sua solução positiva:

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl} & & \\ & \orange{\rm d_{a, b} = \sqrt{(x_{b}  - x_{a})^{2}  + (y_{b}  - y_{a})^{2}} } & \\ & & \\ \end{array}}}}}$

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$

⠀⠀☀️ Outro exercício sobre distância entre pontos:

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⠀⠀✈https://brainly.com.br/tarefa/36725936  

$\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$

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($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\purple{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$