Question

Consideremos a seguinte função f(x) = 2x³ - 3x² - 12x +15. Qual das alternativas abaixo indica corretamente as Abcissas dos valores máximo o mínimo da função no intervalo fechado (0,3)².
a) possui um mínimo absoluto - 5, atingindo somente em x= 2. f possui um máximo absoluto 15, atingindo somente em x=3.
b) possui um mínimo absoluto atingindo 15, atingindo somente em x=3.
c) f possui um mínimo absoluto atingindo x=1. f possui um máximo absoluto atingindo somente em x = 0.
d) possui um mínimo absoluto -5, atingindo somente em x=2. f possui um máximo absoluto 15, atingindo somente em x =0.

Answer 1

Resposta:

d)

Explicação passo-a-passo:

Os pontos críticos de uma função (isso inclui os máximos e mínimos) são aqueles em que a sua derivada é nula, logo:

$f'(x)=0$

$6x^2-6x-12=0$

$x^2-x-2=0$$x=\frac{1\pm\sqrt{1-4\cdot1\cdot(-2)}}{2}$

$x=\frac{1\pm\sqrt{9}}{2}$

$x=\frac{1\pm3}{2}$

$x\in\{-1,2\}$

Destes valores, apenas 2 se encontra no intervalo [0, 3], logo o único ponto crítico é o ponto da função em que $x=2$. Neste ponto, temos que $f(2)=2\cdot8-3\cdot4-12\cdot2+15=-5$. Para determinar se o ponto é de máximo ou mínimo, calculamos o valor de $f''(2)$.

Se $f''(2)>0$, então o ponto é de mínimo e, se $f''(2)<0$, ele é de máximo. A 2º derivada da função é igual a $f''(x)=12x-6$, logo $f''(2)=12\cdot2-6=18$. Como $f''(2)>0$, este ponto é um mínimo absoluto.