Question

Uma equipe de vôlei é composta por treze rapazes. destes, seis devem ser selecionado ao acaso para começar a jogando em uma partida. entre os trezes rapazes, estão Robert e DAVID. Qual a probabilidade de que Robert não esteja entre os selecionados?​

Answer 1

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⠀⠀☞ Tendo encontrado o total de formações com seis jogadores para a equipe de vôlei com os treze rapazes e em seguida as formações com somente doze rapazes pudemos calcular a probabilidade de Robert (ou qualquer outro jogador) não estar entre os selecionados: 54% ✅

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⠀⠀Temos que a probabilidade de um evento particular ocorrer é dado pela razão entre o número de eventos desejados pelo número total de eventos possíveis.

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf P = \dfrac{Eventos~desejados}{Total~de~eventos~poss\acute{i}veis} }&\\&&\\\end{array}}}}}$

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⠀⠀Portanto vamos separar nosso exercício em três etapas:

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⠀⠀1º) Total de formações com os 13 rapazes;

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⠀⠀2º) Total de formações com 12 rapazes;

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⠀⠀3º) Cálculo da probabilidade.

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1º) Total de formações com os 13 rapazes.

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⠀⠀O exercício nos diz que temos seis vagas para a equipe de vôlei, ou seja, temos 6 etapas para analisarmos:

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$\large\blue{\sf F_t = \underline{~E_1~}~~\underline{~E_2~}~~\underline{~E_3~}~~\underline{~E_4~}~~\underline{~E_5~}~~\underline{~E_6~}}$

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• O Princípio Fundamental da Contagem nos diz que se um evento é composto por duas ou mais etapas sucessivas e independentes, o número total de combinações será determinado pelo produto entre as possibilidades de cada etapa.

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⠀⠀Para o nosso total de treze rapazes temos portanto:

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$\large\blue{\sf F_t = 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}$

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⠀⠀O que pode ser reescrito na forma de um arranjo simples:

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$\LARGE\blue{\sf F_t = \dfrac{13!}{(13 - 6)!} }$

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$\LARGE\blue{\sf F_t = \dfrac{13!}{7!}}$

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⠀⠀Porém note que temos formações repetidas no total encontrado acima (por exemplo, J13 J2 J3 J7 J5 J6 = J5 J13 J2 J3 J6 J7 = J7 J3 J13 J6 J2 J5).

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• "- Mas afinal, quantas são as formações repetidas?"

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⠀⠀Estas repetições são causadas por permutações (a dança entre as casas) entre o mesmo grupo de jogadores, ou seja, para cada grupo encontrado existem 6! permutações que resultam em formações repetidas. Isto acontece pois a ordem interna do grupo não importa. Para excluir tais repetições devemos dividir nosso número de combinações encontrado por 6!:

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$\LARGE\blue{\sf F_t = \dfrac{13!}{7! \cdot 6!}}$

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⠀⠀Esta é exatamente e equação para combinação, dada na forma:

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf C_n^p = \left(\begin{array}{c}\sf n\\\sf p\end{array}\right) = \dfrac{n!}{(n - p)! \cdot p!}}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf n }}$ sendo o total de possibilidades;

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf p }}$ sendo o total de vagas a serem preenchidas;

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$\large\blue{\text{ \sf C_{13}^6 = \dfrac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot \diagup\!\!\!\!{7}!}{\diagup\!\!\!\!{7}! \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} }}$

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$\LARGE\blue{\sf C_{13}^6 = \dfrac{1.235.520}{720}}$

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$\LARGE\gray{\boxed{\sf\blue{~~C_{13}^6 = 1.716~~}}}$

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2º) Total de formações com 12 rapazes.

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⠀⠀Pela mesma estrutura analisada anteriormente temos que o total de formações possíveis para somente doze jogadores será de:

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$\LARGE\blue{\sf C_{12}^6 = \dfrac{12!}{6! \cdot 6!}}$

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$\LARGE\blue{\sf C_{12}^6 = \dfrac{665.280}{720}}$

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$\LARGE\gray{\boxed{\sf\blue{~~C_{12}^6 = 924~~}}}$

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3º) Cálculo da probabilidade.

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⠀⠀Agora finalmente podemos calcular a probabilidade de um jogador (seja ele Robert ou qualquer outro) não estar entre os selecionados:

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$\LARGE\blue{\text{ \sf P_{12} = \dfrac{C_{12}^6}{C_{13}^6} }}$

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$\LARGE\blue{\sf P_{12} = \dfrac{924}{1.716}}$

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$\LARGE\blue{\sf P_{12} \approx 0,54}$

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$\LARGE\blue{\sf P_{12} \approx 54~\%}$

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$\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{P}~\pink{\approx}~\blue{ 54~\% }~~~}}$ ✅

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✋ Poderíamos também ter calculado no segundo passo as formações COM Robert (Fr = 1 * C(12, 5) = 792) e no terceiro passo encontrado 1 - Pr (1 - 046 = 0,54). ✌

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$

⠀⠀☀️ Leia mais sobre combinação:

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✈ https://brainly.com.br/tarefa/38344096  

$\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$

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($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\purple{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$