Question

33. (INSPER - SP) Para percorrer 1 km, o jovem Zeno
adota a estratégia de dividir seu movimento em vá-
rias etapas, percorrendo, em cada etapa, metade da
distância que ainda falta até o ponto de chegada. A
tabela mostra a distância percorrida por ele em cada
etapa. Ao final da etapa n, a distância total percorrida
por Zeno será igual a
27-1
a)
21
2n-1
d)
21
2n+1
21
2+1
b)
e)
2h
c)
cla​

Answer 1

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⠀⠀☞ Cada percurso do jovem Zeno, que percorre metade da distância a cada etapa, obedece uma progressão geométrica de razão 1/2, o que nos permite encontrar uma equação que relaciona a distância total percorrida ao final de cada etapa pelo número daquela etapa através da equação para soma de uma P.G., o que nos leva à opção a). ✅

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⠀⠀ Na primeira etapa o jovem Zeno percorre:

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$\LARGE\blue{\sf 1 \div 2 = \dfrac{1}{2}}$

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⠀⠀ Na segunda etapa o jovem Zeno percorre:

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$\LARGE\blue{\sf \left(1 - \dfrac{1}{2}\right) \div 2}$

⠀

$\LARGE\blue{\sf = \left(\dfrac{2}{2} - \dfrac{1}{2}\right) \div 2}$

⠀

$\LARGE\blue{\sf = \dfrac{1}{2} \div 2}$

⠀

$\LARGE\blue{\sf = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}}$

⠀

$\LARGE\blue{\sf = \dfrac{1}{4}}$

⠀

⠀⠀ Na terceira etapa o jovem Zeno percorre:

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$\LARGE\blue{\sf \left(1 - \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\right)\right) \div 2}$

⠀

$\LARGE\blue{\sf = \left(\dfrac{4}{4} - \left(\dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4}\right)\right) \div 2}$

⠀

$\LARGE\blue{\sf = \left(\dfrac{4}{4} - \dfrac{3}{4}\right) \div 2}$

⠀

$\LARGE\blue{\sf = \dfrac{1}{4} \div 2}$

⠀

$\LARGE\blue{\sf = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{2}}$

⠀

$\LARGE\blue{\sf = \dfrac{1}{8}}$

⠀

⠀⠀Ao seguirmos analisando o percurso de Zeno a cada etapa observaremos o seguinte padrão:

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$\blue{\sf\Large\begin{cases}\sf~1)~~\dfrac{1}{2}\\\\ \sf~2)~~\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2^2}\\\\\sf~3)~~\dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2^3}\\\\ \sf~[...] \\\\ \sf~n)~~\dfrac{1}{2^n}\\\\\end{cases}}$

⠀

⠀⠀A relação de seu percurso com a etapa n se dá através de um progressão geométrica de razão = 1/2. Desta forma, para encontrarmos a soma da distância total percorrida por Zeno basta utilizarmos a equação da soma de n termos de uma P.G., que é da forma:

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$\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl} & & \\ & \orange{\rm S_n = a_1 \cdot \dfrac{(q^{n} - 1)}{q - 1} } & \\ & & \\ \end{array}}}}}$

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$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{ \sf a_1 }}$ sendo o primeiro termo da p.g.;

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{ \sf n }}$ sendo é a posição do termo na p.g.;

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{ \sf q }}$ sendo a razão da p.g.;

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{ \sf S_n }}$ sendo a soma dos n primeiros termos da P.G.

⠀

$\LARGE\blue{\sf S_n = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(1 / 2^n) - 1}{(1 / 2) - 1}}$

⠀

$\Large\blue{\sf S_n = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{(1 / 2) - 1} \cdot \left(\dfrac{1}{2^n} - 1\right)}$

⠀

$\Large\blue{\sf S_n = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{(-1 / 2)} \cdot \left(\dfrac{1}{2^n} - \dfrac{2^n}{2^n}\right)}$

⠀

$\LARGE\blue{\sf S_n = \dfrac{1}{2} \cdot (-2) \cdot \left(\dfrac{1 - 2^n}{2^n}\right)}$

⠀

$\LARGE\blue{\sf S_n = \dfrac{-2}{2} \cdot \left(\dfrac{1 - 2^n}{2^n}\right)}$

⠀

$\LARGE\blue{\sf S_n = (-1) \cdot \left(\dfrac{1 - 2^n}{2^n}\right)}$

⠀

$\LARGE\blue{\sf S_n = \dfrac{2^n - 1}{2^n}}$  

⠀

⠀

$\Huge\green{\boxed{\rm~~~\red{a)}~\blue{ \dfrac{2^n - 1}{2^n} }~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$

⠀⠀☀️ Leia mais sobre Progressão Geométrica:

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$\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$

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($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$