Question

Seja a função exponencial f : [−1, 4] → R, definida por f(x) = 2^x, o conjunto imagem é: 

a) [−1, 4]

b) [1/2, 16]

d) [1, 4]

c) [−1/2, 16]

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Answer 1

Dada uma função contínua definida num intervalo [a, b], o conjunto imagem desta função é o conjunto que inclui todos os valores entre o mínimo e o máximo local da função. Se f é limitada superiormente e é contínua, então f possui supremo em [a, b], ou seja, existe um número M tal que

$y \leq M\, , \hspace{0.2cm} \mathrm{para \hspace{0.1cm} todo \hspace{0.1cm}} y \hspace{0.1cm} \mathrm{na \hspace{0.1cm} imagem}$

Se a mesma f é limitada inferiormente no mesmo intervalo [a, b], então possui ínfimo, ou seja, existe uma cota inferior m tal que

$y \geq M\, , \hspace{0.2cm} \mathrm{para \hspace{0.1cm} todo \hspace{0.1cm}} y  \hspace{0.1cm} \mathrm{na \hspace{0.1cm} imagem}$

Assim, o conjunto imagem de f é

$I = [m,\,M]$

m é dito mínimo local de f e M, máximo local de f para f no domínio [a, b].

Dada a função $f(x) = 2^x$ definida no intervalo [-1, 4], verificaremos se f é limitada.

Sabemos que f(x) é contínua por ser exponencial, mas além disso é ela é monótona, ou seja, ela e estritamente crescente ou decrescente durante todo intervalo, pois, dados x₁ e x₂ ∈ [a, b],

$\displaystyle x_1 < x_2 \implies 2^{x_1} > 2^{x_2}$

Deste modo, o mínimo local de f está quando x também é mínimo, enquanto o máximo de f se encontra quando x é máximo. Assim,

$m = f(-1) = 2^{-1} = \dfrac{1}{2}$

$M = f(4) = 2^4 = 16$

Assim, a imagem de f é dada pelo conjunto

$I = \left[\,\dfrac{1}{2}, \, 16\,\right]$

Alternativa b)