Question

Utilizando separação de variáveis, resolva: dy/dx = 1+x/x²y²

Answer 1

Dada a equação diferencial

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1+x}{x^2y^2}$

Vemos que ela é separável, já que x e y podem ser separadas do seguinte modo

$y^2 \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1+x}{x^2}$

Aqui podemos integrar ambos os lados (os seguintes passos são conhecidos como "passar o dx multiplicando", mas dy/dx não é uma fração e tal conceito é errado, mas o efeito no final é o mesmo)

$\displaystyle \int y^2 \dfrac{dy}{dx}\, dx = \int \dfrac{1+x}{x^2}\, dx$

Por substituição de variáveis o diferencial,  $dy = \frac{dy}{dx} \, dx$

$\displaystyle \int y^2\, dy = \int \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}\, dx$

Resolvendo cada integral obteremos

$\dfrac{y^3}{3} = \log|x| - \dfrac{1}{x} + C$

$y(x) = \sqrt[3]{3\left(\log|x|-\dfrac{1}{x}\right) +C}$